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Les vecteurs en Seconde Exercices

Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

$ ABCD $ est un parallélogramme de centre $ O $. $ E $ est le milieu de $ [AB] $ et $ F $ est le milieu de $ [CD] $.

  1. Exprimer $ \overrightarrow{EF} $ en fonction de $ \overrightarrow{AD} $.
  2. En déduire que $ AEFD $ est un parallélogramme.
  3. Montrer que $ \overrightarrow{EO} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} $ et en déduire que $ O $ est le milieu de $ [EF] $.
  4. Montrer que $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} $.

Corrigé

  1. On décompose $ \overrightarrow{EF} $ en passant par les sommets du parallélogramme.
    En utilisant la relation de Chasles :
    $ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DF} $
    $ E $ est le milieu de $ [AB] $, donc $ \overrightarrow{EA} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} $.
    $ F $ est le milieu de $ [CD] $, donc $ \overrightarrow{DF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC} $.
    Or $ ABCD $ est un parallélogramme, donc $ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} $.
    On remplace :
    $ \overrightarrow{EF} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} $

    $ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AD} $
  2. On a montré que $ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AD} $.
    Cela signifie que les côtés $ [EF] $ et $ [AD] $ sont parallèles et de même longueur.
    Or, dans le quadrilatère $ AEFD $, les côtés $ [EF] $ et $ [AD] $ sont opposés.
    Par conséquent, $ AEFD $ est un parallélogramme.

  3. On décompose $ \overrightarrow{EO} $ en passant par $ A $ :
    $ \overrightarrow{EO} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AO} $
    $ \overrightarrow{EA} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} $ (car $ E $ est le milieu de $ [AB] $).
    $ O $ est le centre du parallélogramme $ ABCD $, donc $ O $ est le milieu de $ [AC] $ :
    $ \overrightarrow{AO} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) $
    car $ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} $ (propriété du parallélogramme : $ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} $).
    On remplace :
    $ \overrightarrow{EO} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} $

    $ \overrightarrow{EO} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} $

    Or, d'après la question 1, $ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AD} $, donc $ \overrightarrow{EO} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF} $.
    Cela signifie que $ O $ est le milieu de $ [EF] $.

  4. $ O $ est le milieu de la diagonale $ [AC] $, donc :
    $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} $
    $ O $ est le milieu de la diagonale $ [BD] $, donc :
    $ \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} $
    En additionnant ces deux égalités :

    $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} $