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Les vecteurs en Seconde Exercices

Vecteurs et cercles sécants

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

$ \mathscr{C} $ et $ \mathscr{C}^{\prime} $ sont deux cercles de même rayon sécants en deux points distincts $ A $ et $ B $. On note $ I $ le centre de $ \mathscr{C} $ et $ J $ le centre de $ \mathscr{C}^{\prime} $.

$ [AP] $ et $ [BQ] $ sont des diamètres du cercle $ \mathscr{C} $ et $ [AR] $ et $ [BS] $ des diamètres du cercle $ \mathscr{C}^{\prime}. $

cercles sécants
  1. Quelle est la nature du quadrilatère $ AJBI $ ?
    Justifier votre réponse.
  2. Quelle est la nature du quadrilatère $ ABPQ $ ?
    Justifier votre réponse.
  3. Montrer que $ \overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ IP }. $
  4. En déduire que $ IPBJ $ est un parallélogramme.
    De même, montrer que $ IBRJ $ est un parallélogramme.
  5. Montrer que $ B $ est le milieu de $ [PR]. $

Corrigé

  1. $ [AI] $ et $ [BI] $ sont deux rayons du cercle $ \mathscr{C} $ et $ [AJ] $ et $ [BJ] $ sont deux rayons du cercle $ \mathscr{C}^{\prime} $.

    Les deux cercles ayant le même rayon : $ AI=BI=AJ=BJ $. Par conséquent, $ AIBJ $ est un losange.
  2. $ [AP] $ et $ [BQ] $ , les diagonales du quadrilatère $ ABPQ $, sont deux diamètres du cercle $ \mathscr{C} $.

    Ces diagonales sont donc de même longueur et elles se coupent en leur milieu.

    Par conséquent, $ ABPQ $ est un rectangle.
  3. $ I $ est le milieu du segment $ [AP] $ donc $ \overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ IP }. $
  4. $ AJBI $ est un losange donc c'est également un parallélogramme.

    Par conséquent : $ \overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ JB }. $

    Or, d'après la question précédente $ \overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ IP }. $ On en déduit que $ \overrightarrow{ JB } = \overrightarrow{ IP }. $ et donc que $ IPBJ $ est un parallélogramme.

    La démonstration est analogue pour $ IBRJ $ :

    $ \overrightarrow{ IB } = \overrightarrow{ AJ } = \overrightarrow{ JR }, $

    donc $ IBRJ $ est un parallélogramme.
  5. Puisque $ IPBJ $ est un parallélogramme : $ \overrightarrow{ PB } = \overrightarrow{ IJ }. $
    Puisque $ IBRJ $ est un parallélogramme : $ \overrightarrow{ BR } = \overrightarrow{ IJ }. $

    Par conséquent, $ \overrightarrow{ PB } = \overrightarrow{ BR } $ donc $ B $ est le milieu du segment $ [PR]. $