Droites parallèles et trapèze
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Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(0~;~1) $, $ B(3~;~3) $, $ C(7~;~3) $ et $ D(1~;~-1) $.
- Calculer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{DC} $.
- Montrer que les droites $ (AB) $ et $ (DC) $ sont parallèles.
- Les droites $ (AD) $ et $ (BC) $ sont-elles parallèles ? Justifier.
- En déduire la nature du quadrilatère $ ABCD $.
Corrigé
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $ sont :
$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 - 0 \\ 3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{DC} $ sont :
$ \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} 7 - 1 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} $
On calcule le déterminant des vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{DC} $ :
$ \det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}\right) = 3 \times 4 - 2 \times 6 = 12 - 12 = 0 $
Le déterminant est nul, donc les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{DC} $ sont colinéaires.
Les droites $ (AB) $ et $ (DC) $ sont donc parallèles.
On peut remarquer que $ \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{AB} $.
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AD} $ sont :
$ \overrightarrow{AD} \begin{pmatrix} 1 - 0 \\ -1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} $
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{BC} $ sont :
$ \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 7 - 3 \\ 3 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} $
On calcule le déterminant :
$ \det\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}\right) = 1 \times 0 - (-2) \times 4 = 0 + 8 = 8 \neq 0 $
Le déterminant n'est pas nul, donc les vecteurs $ \overrightarrow{AD} $ et $ \overrightarrow{BC} $ ne sont pas colinéaires. Les droites $ (AD) $ et $ (BC) $ ne sont pas parallèles.
Le quadrilatère $ ABCD $ possède exactement une paire de côtés parallèles : $ (AB) \parallel (DC) $.
C'est donc un trapèze de bases $ [AB] $ et $ [DC] $.
→ Pour réviser : Montrer que deux droites sont parallèles avec les coordonnées