Étudier les variations d’une fonction trigonométrique

Étudier les variations de $ f(x) = \cos(2x) + 1 $.

Étape 1 : on vérifie la périodicité :
$ f(x + \pi) = \cos(2(x + \pi)) + 1 = \cos(2x + 2\pi) + 1 = \cos(2x) + 1 = f(x) $.
La fonction $ f $ est périodique de période $ \pi $.

Étape 2 : on étudie la parité :
$ f(-x) = \cos(-2x) + 1 = \cos(2x) + 1 = f(x) $.
La fonction $ f $ est paire : on restreint l'étude à $ \left[0\,; \dfrac{\pi}{2}\right] $.

Étape 3 : on calcule la dérivée :
$ f'(x) = -2\sin(2x) $

Étape 4 : pour $ x \in \left[0\,; \dfrac{\pi}{2}\right] $, on a $ 2x \in [0\,; \pi] $, donc $ \sin(2x) \geqslant 0 $.
Par conséquent $ f'(x) = -2\sin(2x) \leqslant 0 $ sur cet intervalle.

Étape 5 : on calcule les valeurs aux bornes :
$ f(0) = \cos(0) + 1 = 2 $
$ f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos(\pi) + 1 = -1 + 1 = 0 $

La fonction $ f $ est décroissante sur $ \left[0\,; \dfrac{\pi}{2}\right] $.
Par parité, elle est croissante sur $ \left[-\dfrac{\pi}{2}\,; 0\right] $.
Par périodicité, on complète le tableau de variations sur tout intervalle d'amplitude $ \pi $.

Étudier les variations de $ g(x) = 2\sin(x) + \sin(2x) $ sur $ [0\,; \pi] $.

Étape 3 : on calcule la dérivée :
$ g'(x) = 2\cos(x) + 2\cos(2x) $
On utilise la formule de duplication $ \cos(2x) = 2\cos^{2}(x) - 1 $ :
$ g'(x) = 2\cos(x) + 2\left(2\cos^{2}(x) - 1\right) = 4\cos^{2}(x) + 2\cos(x) - 2 $

Étape 4 : on pose $ X = \cos(x) $ et on factorise :
$ g'(x) = 2\left(2X^{2} + X - 1\right) = 2(2X - 1)(X + 1) $
Donc $ g'(x) = 2\left(2\cos(x) - 1\right)\left(\cos(x) + 1\right) $.
Sur $ [0\,; \pi] $, $ \cos(x) + 1 \geqslant 0 $ (s'annule uniquement en $ x = \pi $).
$ 2\cos(x) - 1 = 0 $ quand $ \cos(x) = \dfrac{1}{2} $, soit $ x = \dfrac{\pi}{3} $.
Pour $ x \in \left[0\,; \dfrac{\pi}{3}\right[ $ : $ \cos(x) > \dfrac{1}{2} $ donc $ g'(x) > 0 $.
Pour $ x \in \left]\dfrac{\pi}{3}\,; \pi\right[ $ : $ \cos(x) < \dfrac{1}{2} $ donc $ g'(x) < 0 $.

Étape 5 : on calcule les valeurs aux bornes et à l'extremum :
$ g(0) = 2\sin(0) + \sin(0) = 0 $
$ g\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} $
$ g(\pi) = 2\sin(\pi) + \sin(2\pi) = 0 $

La fonction $ g $ est croissante sur $ \left[0\,; \dfrac{\pi}{3}\right] $ et décroissante sur $ \left[\dfrac{\pi}{3}\,; \pi\right] $.
Le maximum vaut $ \dfrac{3\sqrt{3}}{2} $, atteint en $ x = \dfrac{\pi}{3} $.