Déterminer la médiane d’une série statistique
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La médiane d'une série statistique est la valeur qui partage la population ordonnée en deux groupes de même effectif : au moins $50\,\%$ des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins $50\,\%$ lui sont supérieures ou égales.
Méthode
- Étape 1 : ranger toutes les valeurs dans l'ordre croissant (ou utiliser les effectifs cumulés croissants si la série est donnée dans un tableau).
- Étape 2 : déterminer l'effectif total $N$.
- Étape 3 : repérer la position de la médiane selon la parité de $N$ :
- si $N$ est impair : la médiane est la valeur de rang $\dfrac{N + 1}{2}$ ;
- si $N$ est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rang $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2} + 1$.
Médiane d'une liste de valeurs
On relève la durée (en minutes) mise par $7$ salariés pour aller au travail :
$15 \ ; \ 22 \ ; \ 8 \ ; \ 35 \ ; \ 42 \ ; \ 18 \ ; \ 28$
Étape 1 : on range dans l'ordre croissant :
$8 \ ; \ 15 \ ; \ 18 \ ; \ \color{red}{22} \color{black} \ ; \ 28 \ ; \ 35 \ ; \ 42$
Étape 2 : $N = 7$, impair.
Étape 3 : la médiane est la valeur de rang $\dfrac{7 + 1}{2} = 4$ :
La médiane des durées est $22$ minutes : la moitié des salariés met moins de $22$ minutes.
Cas d'un effectif pair
Un huitième salarié est embauché et met $45$ minutes. La série devient :
$8 \ ; \ 15 \ ; \ 18 \ ; \ \color{red}{22} \color{black} \ ; \ \color{red}{28} \color{black} \ ; \ 35 \ ; \ 42 \ ; \ 45$
Étape 2 : $N = 8$, pair.
Étape 3 : la médiane est la moyenne des valeurs de rang $\dfrac{8}{2} = 4$ et $\dfrac{8}{2} + 1 = 5$ :
$\text{M\'e} = \dfrac{22 + 28}{2}$
La médiane est $25$ minutes.
Médiane à partir d'un tableau d'effectifs
On a relevé le nombre d'animaux de compagnie dans $30$ familles :
| Nombre d'animaux | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Effectif | 8 | 10 | 7 | 3 | 2 |
| ECC | 8 | 18 | 25 | 28 | 30 |
Étape 1 : on complète les effectifs cumulés croissants (ECC) en additionnant les effectifs de gauche à droite.
Étape 2 : $N = 30$, pair.
Étape 3 : la médiane est la moyenne des valeurs de rang $15$ et $16$.
On lit dans la ligne ECC : les $8$ premières familles ont $0$ animal, les familles de rang $9$ à $18$ ont $1$ animal. Les rangs $15$ et $16$ correspondent donc tous les deux à la valeur $1$.
La médiane est $1$ animal : au moins la moitié des familles ont au plus $1$ animal.
Remarque
La médiane est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne. Par exemple, si une seule famille possède $20$ animaux, la moyenne change beaucoup mais la médiane reste inchangée.
Attention
Avant de chercher la médiane, il faut absolument ranger les valeurs dans l'ordre croissant. Chercher la médiane sur une liste non ordonnée conduit à un résultat faux.