Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteMéthode
Pour déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ associée à une expérience aléatoire :
- Étape 1 : décrire l'expérience et identifier toutes les issues possibles.
- Étape 2 : déterminer toutes les valeurs $x_i$ que peut prendre $X$.
- Étape 3 : pour chaque valeur $x_i$, calculer la probabilité $p(X = x_i)$ en regroupant les issues qui donnent cette valeur (équiprobabilité, arbre, dénombrement).
- Étape 4 : présenter la loi sous forme d'un tableau à deux lignes : valeurs $x_i$ et probabilités $p(X = x_i)$.
- Étape 5 : vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.
Remarque
La somme des probabilités d'une loi vaut toujours $1$ : cette vérification permet de détecter une erreur de calcul ou un cas oublié.
Somme de deux dés
On lance deux dés équilibrés à six faces. On note $X$ la valeur absolue de la différence des deux dés. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Étape 1 : $36$ issues équiprobables (couples $(d_1, d_2)$ avec $d_1, d_2 \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$).
Étape 2 : $X = |d_1 - d_2|$ peut prendre les valeurs $0, 1, 2, 3, 4, 5$.
Étape 3 : dénombrement des couples pour chaque valeur :
- $X = 0$ : couples $(1{,}1), (2{,}2), \dots, (6{,}6)$ — $6$ couples.
- $X = 1$ : couples $(1{,}2), (2{,}1), (2{,}3), \dots, (6{,}5)$ — $10$ couples.
- $X = 2$ : $8$ couples.
- $X = 3$ : $6$ couples.
- $X = 4$ : $4$ couples.
- $X = 5$ : $2$ couples.
Étape 4 : tableau de la loi :
| $x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| $p(X = x_i)$ | $\dfrac{6}{36}$ | $\dfrac{10}{36}$ | $\dfrac{8}{36}$ | $\dfrac{6}{36}$ | $\dfrac{4}{36}$ | $\dfrac{2}{36}$ |
Étape 5 : vérification :
Loi à partir d'un arbre pondéré
Une urne contient $3$ jetons rouges et $2$ jetons noirs. On tire successivement deux jetons sans remise. Soit $X$ le nombre de jetons rouges obtenus. Déterminer la loi de $X$.
Étape 1 : expérience à deux étapes — un arbre pondéré modélise les tirages.
Étape 2 : $X$ peut prendre les valeurs $0, 1$ ou $2$.
Étape 3 : calcul des probabilités à l'aide de la formule des probabilités composées :
Étape 4 : tableau de la loi :
| $x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $p(X = x_i)$ | $\dfrac{1}{10}$ | $\dfrac{6}{10}$ | $\dfrac{3}{10}$ |
Étape 5 : vérification :
Attention
Erreurs fréquentes :
- Oublier une valeur prise par $X$ (la somme des probabilités sera alors $< 1$).
- Compter deux fois la même issue dans deux valeurs différentes (la somme des probabilités sera alors $> 1$).
- Confondre la valeur $x_i$ et sa probabilité $p(X = x_i)$ dans le tableau.