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Variable aléatoire - Loi de probabilité Exercices

Loi de probabilité – Espérance mathématique

Durée estimée
20 minutes
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Objectifs travaillés

Une cantine scolaire propose chaque jour aux enfants de choisir un plat entre « steak-frites » et « plat du jour ».

Le responsable de la cantine fait le bilan après un nombre élevé de jours et remarque que les enfants ont choisi le « plat du jour » dans 45% des cas et le « steak-frites » dans 55% des cas.

  1. On observe le comportement alimentaire d'un enfant choisi au hasard pendant trois jours consécutifs et on admet que ses choix sont indépendants d'un jour à l'autre.

    1. Représenter les choix possibles de l'enfant pendant ces trois jours à l'aide d'un arbre pondéré (on notera $ S $ l'événement : l'enfant choisi le « steak-frites » un jour donné et $ \overline{S} $ l'événement contraire).
    2. Quelle est la probabilité que l'enfant ait choisi le « plat du jour » à tous les repas ?
    3. Quelle est la probabilité que l'enfant ait choisi davantage de « steak-frites » que de « plat du jour » durant ces trois jours ?

  2. Un repas se compose d'un plat principal ( « steak-frites » ou « plat du jour » ), d'une entrée au coût fixe de 1,5 euros et d'un dessert au coût fixe de 2 euros.

    Le coût du « plat du jour » est de 5 euros en moyenne tandis que le « steak-frite » revient à 4,5 euros.

    On note $ X $ la variable aléatoire donnant le coût des repas scolaires d'un enfant pendant trois jours.

    1. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $ X $ ?
    2. Donner la loi de probabilité de $ X $.
    3. Calculer l'espérance mathématique de $ X $. Quelle interprétation peut-on donner de cette espérance mathématique ?

Corrigé

  1. On observe le comportement alimentaire d'un enfant pendant trois jours consécutifs :

    1. Puisque les choix sont indépendants d'un jour à l'autre, on peut modéliser la situation par un arbre pondéré à trois niveaux :

      Arbre pondéré à trois niveaux

    2. L'événement « l'enfant a choisi le plat du jour à tous les repas » correspond au chemin unique $(\overline{S}, \overline{S}, \overline{S})$.
      La probabilité est donc :

      $ p(\overline{S} \cap \overline{S} \cap \overline{S}) = 0{,}45 \times 0{,}45 \times 0{,}45 = 0{,}45^3 = 0{,}091125 $

    3. L'événement « l'enfant a choisi davantage de steak-frites que de plat du jour » correspond à choisir au moins deux fois « steak-frites » sur les trois jours (c'est-à-dire 2 ou 3 « steak-frites »).
      Les chemins favorables sont : $(S, S, S)$, $(S, S, \overline{S})$, $(S, \overline{S}, S)$ et $(\overline{S}, S, S)$.

      La probabilité de chacun des trois chemins avec deux « steak-frites » est :
      $ 0{,}55^2 \times 0{,}45 = 0{,}136125 $

      La probabilité du chemin avec trois « steak-frites » est :
      $ 0{,}55^3 = 0{,}166375 $

      La probabilité cherchée est donc la somme des probabilités de ces quatre chemins :

      $ p = 3 \times 0{,}136125 + 0{,}166375 = 0{,}408375 + 0{,}166375 = 0{,}57475 $

  2. Étude du coût des repas : chaque repas se compose d'un plat principal, d'une entrée fixe à 1,5 € et d'un dessert fixe à 2 € (soit un coût fixe de 3,5 € par jour).

    1. Calcul des coûts journaliers :

      • Si l'enfant choisit « steak-frites » : le repas coûte $ 4{,}5 + 3{,}5 = 8 $ euros.
      • Si l'enfant choisit « plat du jour » : le repas coûte $ 5 + 3{,}5 = 8{,}5 $ euros.

      Les valeurs possibles de $ X $ sur trois jours sont :

      • 3 « steak-frites » : $ X = 3 \times 8 = 24 $
      • 2 « steak-frites » et 1 « plat du jour » : $ X = 2 \times 8 + 8{,}5 = 24{,}5 $
      • 1 « steak-frite » et 2 « plat du jour » : $ X = 8 + 2 \times 8{,}5 = 25 $
      • 3 « plat du jour » : $ X = 3 \times 8{,}5 = 25{,}5 $

      Les valeurs prises par $ X $ sont donc : $ \{24\ ;\ 24{,}5\ ;\ 25\ ;\ 25{,}5\} $.

    2. À l'aide de l'arbre et du dénombrement des chemins :

      • Pour $ X = 24 $ (3 « steak-frites ») : un seul chemin, $ p = 0{,}55^3 = 0{,}166375 $.
      • Pour $ X = 24{,}5 $ (2 « steak-frites ») : trois chemins, $ p = 3 \times 0{,}55^2 \times 0{,}45 = 0{,}408375 $.
      • Pour $ X = 25 $ (1 « steak-frite ») : trois chemins, $ p = 3 \times 0{,}55 \times 0{,}45^2 = 0{,}334125 $.
      • Pour $ X = 25{,}5 $ (0 « steak-frite ») : un seul chemin, $ p = 0{,}45^3 = 0{,}091125 $.

      Loi de probabilité de $ X $ :

      $ x_i $ 24 24,5 25 25,5
      $ p(X = x_i) $ 0,166375 0,408375 0,334125 0,091125

    3. Espérance mathématique de $ X $ :
      $ E(X) = 24 \times 0{,}166375 + 24{,}5 \times 0{,}408375 + 25 \times 0{,}334125 + 25{,}5 \times 0{,}091125 $

      $\mathbf{E(X) = 24{,}675}$

      Interprétation : Sur un grand nombre de périodes de trois jours, le coût moyen des repas d'un enfant est de 24,675 euros.