Déterminer une loi puis calculer espérance, variance et écart-type
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Lors d'une kermesse, une roue de loterie est partagée en $10$ secteurs identiques. En lançant la roue, le joueur gagne le nombre de points inscrit sur le secteur où elle s'arrête :
- $5$ secteurs portent $0$ point ;
- $3$ secteurs portent $2$ points ;
- $1$ secteur porte $5$ points ;
- $1$ secteur porte $10$ points.
On note $X$ le nombre de points obtenus à l'issue d'un lancer. On souhaite établir la loi de probabilité de $X$, puis caractériser ce jeu par son espérance, sa variance et son écart-type.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Étape 1 : Déterminer l'ensemble des valeurs que peut prendre $X$.
- (Incorrect) $\{0\,;\,1\,;\,2\,;\,\dots\,;\,10\}$
- (Correct) $\{0\,;\,2\,;\,5\,;\,10\}$
- (Incorrect) $\{2\,;\,5\,;\,10\}$
- (Incorrect) $\{5\,;\,3\,;\,1\,;\,1\}$
Étape 2 : Donner la probabilité $p(X = 0)$ sous forme de fraction irréductible : $p(X = 0) = $ [[p0]]
Étape 3 : En procédant de la même manière pour chaque valeur, on obtient la loi de $X$. Donner la probabilité $p(X = 5)$ sous forme décimale : $p(X = 5) = $ [[p5]]
Étape 4 : À partir de la loi de $X$, calculer l'espérance $E(X)$ : $E(X) = $ [[esp]]
Étape 5 : Déterminer $E(X^2)$ : $E(X^2) = $ [[esp2]]
Étape 6 : Déduire des résultats précédents la variance $V(X)$, puis l'écart-type $\sigma(X)$ arrondi au centième.
$V(X) = $ [[var]] et $\sigma(X) \approx $ [[ect]]
$V(X) = $ [[var]] et $\sigma(X) \approx $ [[ect]]