Comparer des nombres avec les fonctions carré et cube

Durée estimée

10 minutes

Difficulté

On pose $a = -2{,}3$ et $b = -\sqrt{5}$.
On cherche à comparer $a$ et $b$ sans utiliser de valeur approchée de $\sqrt{5}$.

Déroulement pas à pas (Correction et Indices)

Étape 1 :

Déterminer le signe de $a$ et $b$.
Les nombres $a$ et $b$ sont :

Étape 2 :

Les deux nombres sont négatifs. Quelle fonction de référence permet de les comparer et pourquoi ?

(Incorrect) La fonction cube, car elle est croissante sur $\mathbb{R}$
(Correct) La fonction carré, car elle est décroissante sur $]-\infty~;~0]$ et renverse l'ordre des négatifs
(Incorrect) La fonction cube, car elle conserve le signe

Étape 3 :

Calculer $a^2$.
$a^2 = (-2{,}3)^2 = $ [[a2]]

Étape 4 :

Calculer $b^2$.
$b^2 = (-\sqrt{5})^2 = $ [[b2]]

Étape 5 :

On a $a^2 = 5{,}29$ et $b^2 = 5$. En déduire la comparaison de $a$ et $b$.

(Incorrect) $a > b$ car $a^2 > b^2$
(Correct) $a < b$ car $a^2 > b^2$ et la fonction carré renverse l'ordre des négatifs
(Incorrect) $a < b$ car $a^2 < b^2$