Calculer le PGCD par décomposition en facteurs premiers
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteMéthode
- Décomposer chacun des deux nombres en produit de facteurs premiers.
- Repérer les facteurs premiers communs aux deux décompositions.
- Pour chaque facteur commun, retenir le plus petit des deux exposants. Le PGCD est le produit de ces facteurs avec les exposants retenus.
Calcul du PGCD de 36 et 60
Étape 1 : On décompose 36 et 60 en produit de facteurs premiers :
Étape 2 : Les facteurs communs aux deux décompositions sont $ 2 $ et $ 3 $ (le facteur $ 5 $ n'apparaît pas dans la décomposition de $ 36 $).
Étape 3 : Pour chaque facteur commun, on retient le plus petit exposant :
- Pour $ 2 $ : les exposants sont $ 2 $ et $ 2 $, on retient $ 2^2 $.
- Pour $ 3 $ : les exposants sont $ 2 $ et $ 1 $, on retient $ 3^1 = 3 $.
On obtient donc :
Calcul du PGCD de 504 et 180
Étape 1 : On décompose 504 et 180 en produit de facteurs premiers :
Étape 2 : Les facteurs communs sont $ 2 $ et $ 3 $ (le facteur $ 7 $ est absent de la décomposition de $ 180 $, et le facteur $ 5 $ est absent de celle de $ 504 $).
Étape 3 : On retient le plus petit exposant pour chaque facteur commun :
- Pour $ 2 $ : les exposants sont $ 3 $ et $ 2 $, on retient $ 2^2 $.
- Pour $ 3 $ : les exposants sont $ 2 $ et $ 2 $, on retient $ 3^2 $.
On obtient donc :
Remarque
Si les deux décompositions n'ont aucun facteur premier commun, alors $ PGCD\left(a~;~b\right) = 1 $. On dit dans ce cas que $ a $ et $ b $ sont premiers entre eux.
Exemple : $ 35 = 5 \times 7 $ et $ 12 = 2^2 \times 3 $ n'ont aucun facteur commun, donc $ PGCD\left(35~;~12\right) = 1 $.
Attention
On retient le plus petit exposant de chaque facteur commun (et non le plus grand). Retenir le plus grand exposant donnerait le PPCM, pas le PGCD.