Bouquets de fleurs : calculer un PGCD
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Une fleuriste dispose de $60$ roses et $84$ tulipes.
Elle veut réaliser le maximum de bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs.
Chaque bouquet doit contenir le même nombre de roses et le même nombre de tulipes.
Suivez les étapes pour résoudre ce problème.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Étape 1 : Pour trouver le nombre maximum de bouquets identiques, quelle valeur faut-il calculer ?
- (Correct) $PGCD(60 ; 84)$
- (Incorrect) $60 + 84$
- (Incorrect) $60 \times 84$
- (Incorrect) $84 - 60$
Étape 2 : Commençons par décomposer $60$ en produit de facteurs premiers.
On a $60 = 2^2 \times 3 \times$ [[a]]. Quel est le facteur premier manquant ?
Étape 3 : Décomposons maintenant $84$ en produit de facteurs premiers.
On a $84 = 2^2 \times$ [[b1]] $\times 7$. Quel est le facteur premier manquant ?
Étape 4 : On a obtenu : $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$.
Pour calculer le $PGCD$ à partir des décompositions en facteurs premiers, quelle est la bonne méthode ?
- (Correct) Pour chaque facteur premier commun aux deux décompositions, on retient le plus petit exposant, puis on multiplie les résultats.
- (Incorrect) Pour chaque facteur premier commun aux deux décompositions, on retient le plus grand exposant, puis on multiplie les résultats.
- (Incorrect) On retient les facteurs premiers communs aux deux décompositions sans tenir compte des exposants, puis on les multiplie.
- (Incorrect) On retient tous les facteurs premiers présents dans au moins une des deux décompositions, avec leur plus grand exposant, puis on les multiplie.
Étape 5 : On a $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$.
Les facteurs premiers communs sont $2^2$ et $3$.
Calculez $PGCD(60 ; 84) = $ [[pgcd]].
Les facteurs premiers communs sont $2^2$ et $3$.
Étape 6 : La fleuriste peut donc réaliser $12$ bouquets. Quelle est la composition de chaque bouquet ?
- (Correct) $5$ roses et $7$ tulipes
- (Incorrect) $12$ roses et $12$ tulipes
- (Incorrect) $7$ roses et $5$ tulipes
- (Incorrect) $5$ roses et $84$ tulipes