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Division euclidienne - Nombres premiers - PGCD Exercices

Décomposition en facteurs premiers et partage

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Un fleuriste dispose de $ 756 $ roses et de $ 1260 $ tulipes. Il souhaite réaliser des bouquets tous identiques, contenant chacun le même nombre de roses et le même nombre de tulipes, en utilisant toutes les fleurs sans en perdre aucune. Il veut réaliser le plus grand nombre possible de bouquets.

Partie A — Décomposition en facteurs premiers

  1. Décomposer $ 756 $ en produit de facteurs premiers.
  2. Décomposer $ 1260 $ en produit de facteurs premiers.
  3. En déduire le PGCD de $ 756 $ et $ 1260 $.

Partie B — Résolution du problème

  1. Quel est le nombre maximal de bouquets que le fleuriste peut réaliser ? Justifier.
  2. Combien chaque bouquet contiendra-t-il de roses ? De tulipes ?
  3. Le fleuriste reçoit en supplément $ 504 $ marguerites, qu'il veut également répartir équitablement dans ses bouquets (toujours sans en perdre). Est-ce possible ? Justifier en utilisant la décomposition en facteurs premiers de $ 504 $.

Corrigé

Partie A

  1. On décompose $ 756 $ par divisions successives :

    $ 756 = 2 \times 378 = 2 \times 2 \times 189 = 2^2 \times 189 $

    $ 189 = 3 \times 63 = 3 \times 3 \times 21 = 3 \times 3 \times 3 \times 7 = 3^3 \times 7 $

    Donc $\mathbf{756 = 2^2 \times 3^3 \times 7}$.

  2. On décompose $ 1260 $ :

    $ 1260 = 2 \times 630 = 2 \times 2 \times 315 = 2^2 \times 315 $

    $ 315 = 3 \times 105 = 3 \times 3 \times 35 = 3^2 \times 5 \times 7 $

    Donc $\mathbf{1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7}$.

  3. Pour trouver le PGCD, on prend chaque facteur premier commun avec le plus petit exposant :

    • Facteur $ 2 $ : exposant $ \min(2, 2) = 2 $
    • Facteur $ 3 $ : exposant $ \min(3, 2) = 2 $
    • Facteur $ 5 $ : présent uniquement dans $ 1260 $, on ne le prend pas
    • Facteur $ 7 $ : exposant $ \min(1, 1) = 1 $

    $ \text{PGCD}(756 ; 1260) = 2^2 \times 3^2 \times 7 = 4 \times 9 \times 7 = \mathbf{252} $

Partie B

  1. Le nombre de bouquets doit diviser à la fois $ 756 $ (nombre de roses) et $ 1260 $ (nombre de tulipes), car chaque bouquet contient le même nombre de fleurs de chaque type.

    Le plus grand nombre qui divise les deux est le PGCD.

    Le fleuriste peut donc réaliser au maximum $ 252 $ bouquets.

  2. Chaque bouquet contient :

    • $ \dfrac{756}{252} = 3 $ roses
    • $ \dfrac{1260}{252} = 5 $ tulipes

    Chaque bouquet contient $ 3 $ roses et $ 5 $ tulipes.

  3. On décompose $ 504 $ en facteurs premiers :

    $ 504 = 2 \times 252 = 2 \times 2^2 \times 3^2 \times 7 = 2^3 \times 3^2 \times 7 $

    Donc $\mathbf{504 = 2^3 \times 3^2 \times 7}$.

    Pour répartir équitablement les $ 504 $ marguerites dans les $ 252 $ bouquets, il faut que $ 252 $ divise $ 504 $.

    On vérifie : $ \dfrac{504}{252} = 2 $.

    C'est bien un entier, donc oui, c'est possible : chaque bouquet contiendra $ 2 $ marguerites en plus des $ 3 $ roses et $ 5 $ tulipes.

    On peut aussi le vérifier avec les décompositions : $ 252 = 2^2 \times 3^2 \times 7 $ et $ 504 = 2^3 \times 3^2 \times 7 $. Chaque facteur premier de $ 252 $ apparaît dans $ 504 $ avec un exposant supérieur ou égal, donc $ 252 $ divise bien $ 504 $.

Pour réviser : Calculer le PGCD par décomposition en facteurs premiers