Calculer une longueur avec le théorème de Thalès
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Étapes
- Étape 1 : Repérer les triangles emboîtés et vérifier que les droites sont parallèles.
- Étape 2 : Écrire l'égalité des rapports donnée par le théorème de Thalès.
- Étape 3 : Remplacer par les valeurs connues.
- Étape 4 : Calculer la longueur inconnue par produit en croix.
Exemple 1
Sur la figure ci-dessous, les triangles $SAB$ et $SCD$ sont emboîtés et $(AB) /\!/ (CD)$.
On donne : $SA = 5$ cm, $SC = 12{,}5$ cm et $AB = 4$ cm. Calculer $CD$.
Solution
Étape 1 : Les triangles $SAB$ et $SCD$ sont emboîtés et les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. On peut appliquer le théorème de Thalès.
Étape 2 : D'après le théorème de Thalès :
$\dfrac{SA}{SC} = \dfrac{AB}{CD}$
Étape 3 : On remplace :
$\dfrac{5}{12{,}5} = \dfrac{4}{CD}$
Étape 4 : Par produit en croix :
$CD = \dfrac{4 \times 12{,}5}{5} = \dfrac{50}{5} = 10$ cm
Exemple 2
Sur la figure ci-dessous, les triangles $OEF$ et $OGH$ sont emboîtés et $(EF) /\!/ (GH)$.
On donne : $OE = 6$ cm, $EG = 4$ cm et $OF = 3$ cm. Calculer $OH$.
Solution
Étape 1 : Les triangles $OEF$ et $OGH$ sont emboîtés et $(EF) /\!/ (GH)$.
Étape 2 : On calcule d'abord $OG$ :
$OG = OE + EG = 6 + 4 = 10$ cm
D'après le théorème de Thalès :
$\dfrac{OE}{OG} = \dfrac{OF}{OH}$
Étape 3 : On remplace :
$\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{OH}$
Étape 4 : Par produit en croix :
$OH = \dfrac{3 \times 10}{6} = \dfrac{30}{6} = 5$ cm
Attention
- Toujours commencer par vérifier que les triangles sont bien emboîtés et que les droites sont parallèles.
- Si la longueur donnée n'est pas un côté complet du triangle (par exemple $EG$ au lieu de $OG$), il faut d'abord calculer le côté complet avant d'appliquer le théorème.
- Bien respecter l'ordre des sommets dans les rapports : le numérateur et le dénominateur doivent correspondre au même triangle.