Théorème de Thalès
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteObjectifs du chapitre
1. Triangles emboîtés
Triangles emboîtés
Deux triangles $OAB$ et $OA'B'$ sont dits emboîtés lorsque :
- les points $O$, $A$, $A'$ sont alignés ($A'$ est sur la demi-droite $[OA)$)
- les points $O$, $B$, $B'$ sont alignés ($B'$ est sur la demi-droite $[OB)$)
Le point $O$ est le sommet commun des deux triangles.
Remarque
Le petit triangle est à l'intérieur du grand triangle. Le point $A$ peut être entre $O$ et $A'$, ou bien $A'$ peut être entre $O$ et $A$ : dans les deux cas, les triangles sont emboîtés.
2. Théorème de Thalès
Théorème de Thalès
Soient $OAB$ et $OA'B'$ deux triangles emboîtés.
Si les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont parallèles, alors :
Remarque
Ce théorème signifie que les côtés des deux triangles sont proportionnels. On peut présenter cette proportionnalité dans un tableau :
| Triangle $OAB$ | $OA$ | $OB$ | $AB$ |
| Triangle $OA'B'$ | $OA'$ | $OB'$ | $A'B'$ |
Il faut bien respecter la correspondance entre les sommets : $O$ avec $O$, $A$ avec $A'$ et $B$ avec $B'$.
Calculer une longueur (cas 1)
Les triangles $OAB$ et $OA'B'$ sont emboîtés et $(AB) /\!/ (A'B')$.
On donne : $OA = 3$ cm, $AA' = 6$ cm et $OB = 2$ cm. Calculer $OB'$.
On calcule d'abord $OA'$ :
$OA' = OA + AA' = 3 + 6 = 9$ cm
D'après le théorème de Thalès :
$\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{OB}{OB'}$
$\dfrac{3}{9} = \dfrac{2}{OB'}$
Par produit en croix :
$OB' = \dfrac{2 \times 9}{3} = \dfrac{18}{3} = 6$ cm
Calculer une longueur (cas 2)
Les triangles $MIJ$ et $MKL$ sont emboîtés et $(IJ) /\!/ (KL)$.
On donne : $MI = 4$ cm, $IK = 2$ cm et $IJ = 5$ cm. Calculer $KL$.
On calcule d'abord $MK$ :
$MK = MI + IK = 4 + 2 = 6$ cm
D'après le théorème de Thalès :
$\dfrac{MI}{MK} = \dfrac{IJ}{KL}$
$\dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{KL}$
Par produit en croix :
$KL = \dfrac{5 \times 6}{4} = \dfrac{30}{4} = 7{,}5$ cm
Attention
- Ne pas oublier de vérifier que les droites sont bien parallèles et que les points sont bien alignés avant d'appliquer le théorème.
- Bien repérer les côtés qui se correspondent dans les deux triangles.
- Quand la longueur cherchée n'est pas directement un côté du triangle (par exemple $AA'$), calculer d'abord le côté correspondant ($OA'$) puis en déduire la longueur demandée.
3. Réciproque du théorème de Thalès
Réciproque du théorème de Thalès
Soient $OAB$ et $OA'B'$ deux triangles emboîtés tels que les points $O$, $A$, $A'$ et les points $O$, $B$, $B'$ soient dans le même ordre.
Si $\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{OB}{OB'}$, alors les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont parallèles.
Remarque
- La réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles.
- Calculer séparément chaque rapport, puis comparer. Ne jamais écrire l'égalité des rapports avant d'avoir vérifié qu'ils sont bien égaux.
- Vérifier que les points sont dans le même ordre.
Démontrer que deux droites sont parallèles
Les triangles $OCD$ et $OEF$ sont emboîtés avec $C$ entre $O$ et $E$, $D$ entre $O$ et $F$.
On donne : $OC = 4$ cm, $OE = 10$ cm, $OD = 3$ cm et $OF = 7{,}5$ cm.
Les droites $(CD)$ et $(EF)$ sont-elles parallèles ?
Les points $O$, $C$, $E$ et les points $O$, $D$, $F$ sont dans le même ordre.
On calcule séparément chaque rapport :
$\dfrac{OC}{OE} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$
$\dfrac{OD}{OF} = \dfrac{3}{7{,}5} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$
On constate que $\dfrac{OC}{OE} = \dfrac{OD}{OF}$.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(CD)$ et $(EF)$ sont parallèles.
Contraposée du théorème de Thalès
Soient $OAB$ et $OA'B'$ deux triangles emboîtés.
Si $\dfrac{OA}{OA'} \neq \dfrac{OB}{OB'}$, alors les droites $(AB)$ et $(A'B')$ ne sont pas parallèles.
Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles
Les triangles $OPQ$ et $ORS$ sont emboîtés avec $P$ entre $O$ et $R$, $Q$ entre $O$ et $S$.
On donne : $OP = 6$ cm, $OR = 9$ cm, $OQ = 4$ cm et $OS = 5$ cm.
Les droites $(PQ)$ et $(RS)$ sont-elles parallèles ?
On calcule séparément chaque rapport :
$\dfrac{OP}{OR} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$
$\dfrac{OQ}{OS} = \dfrac{4}{5}$
On constate que $\dfrac{OP}{OR} \neq \dfrac{OQ}{OS}$ (car $\dfrac{2}{3} \neq \dfrac{4}{5}$).
Si les droites $(PQ)$ et $(RS)$ étaient parallèles, d'après le théorème de Thalès on aurait $\dfrac{OP}{OR} = \dfrac{OQ}{OS}$. Ce n'est pas le cas, donc les droites $(PQ)$ et $(RS)$ ne sont pas parallèles.
4. Agrandissement et réduction
Agrandissement et réduction
Un agrandissement de coefficient $k$ (avec $k > 1$) est une transformation qui multiplie toutes les longueurs d'une figure par $k$.
Une réduction de coefficient $k$ (avec $0 < k < 1$) est une transformation qui multiplie toutes les longueurs d'une figure par $k$.
Le nombre $k$ est appelé coefficient d'agrandissement ou de réduction.
Effet sur les longueurs
Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de coefficient $k$, toutes les longueurs sont multipliées par $k$.
Effet sur les aires
Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de coefficient $k$, toutes les aires sont multipliées par $k^2$.
Effet sur les volumes
Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de coefficient $k$, tous les volumes sont multipliés par $k^3$.
Agrandissement
Un rectangle mesure $4$ cm de large et $6$ cm de long. On réalise un agrandissement de coefficient $k = 3$.
Longueurs : les nouvelles dimensions sont $4 \times 3 = 12$ cm et $6 \times 3 = 18$ cm.
Aire : l'aire initiale est $4 \times 6 = 24$ cm². L'aire de l'agrandissement est $24 \times 3^2 = 24 \times 9 = 216$ cm².
On vérifie : $12 \times 18 = 216$ cm².
Réduction
Un cube a une arête de $12$ cm. On réalise une réduction de coefficient $k = \dfrac{1}{3}$.
Arête : la nouvelle arête mesure $12 \times \dfrac{1}{3} = 4$ cm.
Volume : le volume initial est $12^3 = 1\,728$ cm³. Le volume réduit est $1\,728 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = 1\,728 \times \dfrac{1}{27} = 64$ cm³.
On vérifie : $4^3 = 64$ cm³.
Attention
- Pour les longueurs, multiplier par $k$.
- Pour les aires, multiplier par $k^2$ (et non par $k$).
- Pour les volumes, multiplier par $k^3$ (et non par $k$ ou $k^2$).
Remarque
Dans une configuration de Thalès, le triangle $OA'B'$ est un agrandissement du triangle $OAB$ de coefficient $k = \dfrac{OA'}{OA}$ lorsque $OA' > OA$, ou une réduction lorsque $OA' < OA$.
Les questions essentielles
1. Comment calculer une longueur avec le théorème de Thalès ?
Il faut repérer les triangles emboîtés et les droites parallèles, écrire l'égalité des trois rapports, puis utiliser le produit en croix pour trouver la longueur inconnue.
Voir la fiche méthode : Calculer une longueur avec le théorème de Thalès
2. Comment démontrer que deux droites sont parallèles avec Thalès ?
On calcule séparément deux rapports de longueurs. S'ils sont égaux et que les points sont dans le même ordre, on conclut avec la réciproque du théorème de Thalès.
Voir la fiche méthode : Déterminer si deux droites sont parallèles avec Thalès
3. Comment calculer une longueur qui n'est pas un côté du triangle ?
Quand la longueur cherchée n'est pas directement un côté des triangles emboîtés, on exprime les côtés en fonction de cette longueur, puis on résout l'équation obtenue avec le produit en croix.
Voir la fiche méthode : Calculer une longueur intermédiaire avec Thalès
4. Comment calculer les dimensions d'un agrandissement ou d'une réduction ?
On identifie le coefficient $k$, puis on multiplie les longueurs par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$.
Voir la fiche méthode : Appliquer un agrandissement ou une réduction