Mesurer la hauteur d’un arbre avec un bâton
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Pour mesurer la hauteur d'un arbre dans son jardin, Léa procède ainsi :
- elle plante un bâton vertical de $1{,}50$ m de haut ;
- elle s'allonge au sol et place son œil au ras du sol de manière à voir l'extrémité du bâton alignée avec le sommet de l'arbre.
Elle mesure ensuite la distance entre son œil et le pied du bâton ($1$ m), puis la distance entre le pied du bâton et le pied de l'arbre ($5$ m).
Calculer la hauteur de l'arbre.
Corrigé
Le bâton $[AB]$ et l'arbre $[A'B']$ sont tous deux verticaux : les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont donc parallèles.
Les points $O$, $A$, $A'$ sont alignés (sur le sol) et les points $O$, $B$, $B'$ sont alignés (par construction de la visée). Les triangles $OAB$ et $OA'B'$ sont donc emboîtés, avec $O$ comme sommet commun.
On calcule d'abord $OA'$ :
$OA' = OA + AA' = 1 + 5 = 6$ m
D'après le théorème de Thalès :
$\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{AB}{A'B'}$
$\dfrac{1}{6} = \dfrac{1{,}5}{A'B'}$
Par produit en croix :
$A'B' = \dfrac{1{,}5 \times 6}{1} = 9$
L'arbre mesure donc $9$ m de haut.