Appliquer le théorème des gendarmes
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Principe
Appliquer le théorème des gendarmes
Pour montrer que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = l$ par le théorème des gendarmes :
- Encadrer $u_{n}$ entre deux suites : trouver $(v_{n})$ et $(w_{n})$ telles que, à partir d'un certain rang, $v_{n} \leqslant u_{n} \leqslant w_{n}$.
- Calculer $\lim\limits_{n \to +\infty} v_{n}$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} w_{n}$.
- Conclure : si $\lim\limits_{n \to +\infty} v_{n} = \lim\limits_{n \to +\infty} w_{n} = l$, alors d'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = l$.
Remarque
L'encadrement le plus fréquent utilise des inégalités connues :
- $-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1$ et $-1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1$
- $0 \leqslant |a_{n}|$ pour tout terme
- Encadrement obtenu par récurrence (voir la fiche Rédiger une démonstration par récurrence)
Exemple 1 : Suite avec sinus
Exemple
Montrons que $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\sin(n)}{n} = 0$.
Étape 1 — Encadrement
Pour tout $n \geqslant 1$, on a $-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1$. En divisant par $n > 0$ :
Étape 2 — Limites des suites encadrantes
$\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-\dfrac{1}{n}\right) = 0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$.
Étape 3 — Conclusion
D'après le théorème des gendarmes :
Exemple 2 : Suite avec cosinus et puissance
Exemple
Montrons que $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n + (-1)^{n}\cos(n)}{n^{2}} = 0$.
Étape 1 — Encadrement
Pour tout $n \geqslant 1$ : $-1 \leqslant (-1)^{n}\cos(n) \leqslant 1$, donc :
$n - 1 \leqslant n + (-1)^{n}\cos(n) \leqslant n + 1$
En divisant par $n^{2} > 0$ :
Étape 2 — Limites des suites encadrantes
$\dfrac{n-1}{n^{2}} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n^{2}}$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n-1}{n^{2}} = 0$.
$\dfrac{n+1}{n^{2}} = \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n+1}{n^{2}} = 0$.
Étape 3 — Conclusion
D'après le théorème des gendarmes :
Théorème de comparaison (limite infinie)
Montrer qu'une suite tend vers l'infini par comparaison
Si $u_{n} \geqslant v_{n}$ à partir d'un certain rang et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_{n} = +\infty$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = +\infty$.
Cette méthode est utile quand on ne sait pas calculer directement la limite de $(u_{n})$, mais qu'on peut la minorer par une suite qui diverge.
Exemple
Montrons que $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(n^{2} + (-1)^{n}\right) = +\infty$.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $(-1)^{n} \geqslant -1$, donc $n^{2} + (-1)^{n} \geqslant n^{2} - 1$.
Or $\lim\limits_{n \to +\infty} (n^{2} - 1) = +\infty$, donc par comparaison :