Appliquer l’inégalité de concentration
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Soit $ (X_1, X_2, \cdots, X_n) $ un échantillon d'une loi d'espérance $ \mu $ et d'écart-type $ \sigma $, et $ M_n $ la moyenne empirique. Pour tout réel $ \varepsilon > 0 $ :
Méthode
Pour appliquer l'inégalité de concentration :
- Étape 1 : Identifier $ \mu $, $ \sigma^2 $ (paramètres de la loi) et $ n $ (taille de l'échantillon).
- Étape 2 : Identifier $ \varepsilon $ (la précision souhaitée, c'est-à-dire l'écart maximal toléré entre $ M_n $ et $ \mu $).
- Étape 3 : Appliquer l'inégalité $ p(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} $.
- Étape 4 : Pour trouver la taille $ n $ nécessaire, résoudre $ \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \leqslant \alpha $ (seuil de probabilité fixé), soit $ n \geqslant \dfrac{\sigma^2}{\alpha \varepsilon^2} $.
Majorer la probabilité d'écart de la moyenne
On lance un dé équilibré $ n = 200 $ fois. On note $ M_{200} $ la moyenne des résultats. On sait que l'espérance d'un lancer est $ \mu = 3{,}5 $ et la variance $ V = \dfrac{35}{12} $. Majorer la probabilité que $ M_{200} $ s'écarte de plus de $ 0{,}5 $ de $ \mu $.
Étape 1 : On a $ \mu = 3{,}5 $, $ \sigma^2 = \dfrac{35}{12} $ et $ n = 200 $.
Étape 2 : On cherche $ p(|M_{200} - 3{,}5| \geqslant 0{,}5) $, donc $ \varepsilon = 0{,}5 $.
Étape 3 : On applique l'inégalité de concentration :
$ p(|M_{200} - 3{,}5| \geqslant 0{,}5) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} = \dfrac{\dfrac{35}{12}}{200 \times (0{,}5)^2} $
$ p(|M_{200} - 3{,}5| \geqslant 0{,}5) \leqslant \dfrac{\dfrac{35}{12}}{50} = \dfrac{35}{600} $
La probabilité que la moyenne des 200 lancers s'écarte de plus de $ 0{,}5 $ de $ 3{,}5 $ est inférieure à 6 %.
Déterminer la taille d'échantillon nécessaire
Un fabricant souhaite estimer la durée de vie moyenne de ses ampoules. Il sait que l'écart-type de la durée de vie est $ \sigma = 100 $ heures. Combien d'ampoules doit-il tester pour que la moyenne empirique $ M_n $ soit à moins de 20 heures de l'espérance $ \mu $ avec une probabilité d'au moins 95 % ?
Étape 1 : On a $ \sigma = 100 $, donc $ \sigma^2 = 10\,000 $.
Étape 2 : On veut $ p(|M_n - \mu| < 20) \geqslant 0{,}95 $, donc $ p(|M_n - \mu| \geqslant 20) \leqslant 0{,}05 $.
La précision est $ \varepsilon = 20 $ et le seuil est $ \alpha = 0{,}05 $.
Étape 3 : On n'applique pas directement l'inégalité ici, on passe à l'étape 4 pour trouver $ n $.
Étape 4 : On résout $ \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \leqslant \alpha $ :
$ \dfrac{10\,000}{n \times 400} \leqslant 0{,}05 $
$ \dfrac{10\,000}{400 \times 0{,}05} \leqslant n $
$ n \geqslant \dfrac{10\,000}{20} = 500 $
Le fabricant doit tester au moins 500 ampoules.
Remarque
L'inégalité de concentration est en réalité l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à la variable $ M_n $, en utilisant le fait que $ V(M_n) = \dfrac{\sigma^2}{n} $. Quand $ n $ tend vers l'infini, la majoration tend vers 0 : c'est la loi (faible) des grands nombres, qui garantit que $ M_n $ converge en probabilité vers $ \mu $.
Attention
- Ne pas confondre $ \varepsilon $ (la précision, l'écart toléré) et $ \alpha $ (le seuil de probabilité). La précision est au dénominateur (au carré) et la taille d'échantillon aussi.
- L'inégalité de concentration donne un nombre minimal d'observations. En pratique, la taille réelle nécessaire peut être plus petite (l'inégalité est pessimiste), mais c'est la seule garantie théorique sans hypothèse sur la forme de la loi.