Vrai/Faux : Estimation d’une fréquence et fluctuation d’échantillonnage

Soit $X_1, X_2, \dots, X_n$ un échantillon de $n$ variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$. On note $F_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$ la fréquence empirique.

Affirmation : $E(F_n) = p$ et $V(F_n) = \dfrac{p(1-p)}{n}$.

On souhaite estimer une proportion inconnue $p$ à $0{,}01$ près, avec une probabilité d'erreur inférieure à $5\,\%$, à l'aide de la fréquence empirique $F_n$ et de la majoration $p(1-p) \leqslant \dfrac{1}{4}$.

Affirmation : D'après l'inégalité de concentration, un échantillon de taille $n = 5\,000$ suffit.

Soit $F_n$ la fréquence empirique d'un échantillon de Bernoulli de paramètre $p$.

Affirmation : Pour tout $\varepsilon > 0$, $p\!\left(|F_n - p| \geqslant \varepsilon\right) \leqslant \dfrac{1}{4n\varepsilon^2}$.

On lance $100$ fois une pièce et on obtient une fréquence de $0{,}6$ pour « Pile ».

Affirmation : On peut alors affirmer avec certitude que la pièce est biaisée.

Affirmation : Pour un échantillon de Bernoulli de paramètre $p$, la fréquence empirique $F_n$ vérifie $\lim\limits_{n \to +\infty} p\!\left(|F_n - p| \geqslant \varepsilon\right) = 0$ pour tout $\varepsilon > 0$.

On souhaite estimer une proportion inconnue $p \in [0\,;\,1]$ avec une précision $\varepsilon$ et un seuil de confiance fixés, à l'aide de l'inégalité de concentration.

Affirmation : Plus la valeur réelle de $p$ est proche de $0{,}5$, plus la taille d'échantillon nécessaire est petite.