QCM : Inégalité de concentration et loi faible des grands nombres
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Ce QCM porte sur l'inégalité de concentration $p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon\right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ et sur la loi faible des grands nombres. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : $(X_1, \ldots, X_n)$ est un échantillon d'une loi de variance $\sigma^2 = 4$, et $M_n$ sa moyenne empirique. Pour $n = 100$ et $\varepsilon = 0{,}5$, donner la majoration de $p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant 0{,}5\right)$ par l'inégalité de concentration.
- (Correct) $0{,}16$
- (Incorrect) $0{,}04$
- (Incorrect) $0{,}4$
- (Incorrect) $16$
Question 2 : $(X_1, \ldots, X_n)$ est un échantillon d'une loi d'écart-type $\sigma = 2$. Pour $n = 4000$ et $\varepsilon = 0{,}1$, majorer $p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant 0{,}1\right)$ par l'inégalité de concentration.
- (Incorrect) $0{,}5$
- (Correct) $0{,}1$
- (Incorrect) $0{,}01$
- (Incorrect) $1$
Question 3 : $(X_1, \ldots, X_n)$ est un échantillon d'une loi de variance $\sigma^2 = 1$. On souhaite garantir $p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant 0{,}1\right) \leqslant 0{,}05$ via l'inégalité de concentration. Quelle est la valeur minimale entière de $n$ ?
- (Incorrect) $100$
- (Incorrect) $200$
- (Correct) $2000$
- (Incorrect) $20000$
Question 4 : La loi faible des grands nombres affirme que, pour un échantillon $(X_1, \ldots, X_n)$ d'une loi d'espérance $\mu$ et pour tout réel $\varepsilon > 0$ : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon\right) = \ ?$
- (Correct) $0$
- (Incorrect) $1$
- (Incorrect) $\varepsilon$
- (Incorrect) $\dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$
Question 5 : Comment l'inégalité de concentration se déduit-elle de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
- (Incorrect) Ce sont deux résultats indépendants qui n'ont aucun lien.
- (Incorrect) C'est l'inverse : Bienaymé-Tchebychev est une conséquence de l'inégalité de concentration.
- (Correct) En appliquant Bienaymé-Tchebychev à $M_n$ et en utilisant $E(M_n) = \mu$ et $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
- (Incorrect) L'inégalité de concentration s'applique uniquement aux lois normales, contrairement à Bienaymé-Tchebychev.
Question 6 : On lance $10\,000$ fois une pièce supposée équilibrée et on note $F_n$ la fréquence empirique de « Pile ». Pour cette loi de Bernoulli, $\mu = 0{,}5$ et $\sigma^2 = 0{,}25$. Majorer $p\!\left(|F_n - 0{,}5| \geqslant 0{,}02\right)$ par l'inégalité de concentration.
- (Incorrect) $0{,}25$
- (Correct) $0{,}0625$
- (Incorrect) $0{,}5$
- (Incorrect) $6{,}25$