Vrai/Faux : Inégalité de concentration

Soit $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ un échantillon d'une loi de probabilité d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$. On note $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$.

Affirmation : Pour tout $\varepsilon > 0$, $p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon\right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$.

On considère un échantillon $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ d'une loi de variance $V$ et de moyenne empirique $M_n$.

Affirmation : Plus la taille $n$ de l'échantillon est grande, plus la majoration $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ donnée par l'inégalité de concentration est grande.

Soit $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ un échantillon d'une loi d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.

Affirmation : La moyenne empirique $M_n$ vérifie $E(M_n) = \mu$ et $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

On note $f(\varepsilon) = \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ la majoration donnée par l'inégalité de concentration.

Affirmation : Pour diviser la majoration $f(\varepsilon)$ par $4$ (à $n$ et $\sigma$ fixés), il suffit de tripler $\varepsilon$.

On considère un échantillon de taille $n = 400$ d'une loi d'espérance $\mu = 5$ et d'écart-type $\sigma = 2$.

Affirmation : D'après l'inégalité de concentration, $p\!\left(|M_{400} - 5| \geqslant 0{,}5\right) \leqslant 0{,}04$.

Affirmation : L'inégalité de concentration ne s'applique qu'aux échantillons de variables aléatoires suivant une loi normale.