QCM Bilan : Loi des grands nombres

$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent respectivement les lois binomiales $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)$ et $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$. Que vaut $E(X+Y)$ ?

Avec les mêmes variables $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)$ et $Y \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$ indépendantes, que vaut $V(X+Y)$ ?

$M_n$ est la moyenne empirique d'un échantillon de taille $n = 400$ d'une loi de variance $\sigma^2 = 2$ et d'espérance $\mu$. Donner la majoration de $p\!\left(|M_n - \mu| \geqslant 0{,}2\right)$ par l'inégalité de concentration.

Quelle hypothèse doit être vérifiée pour que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique à une variable aléatoire $X$ ?

Pour estimer la proportion $p$ d'individus possédant une certaine caractéristique dans une population, on réalise un sondage de taille $n$. On note $F_n$ la fréquence empirique observée et on rappelle que $\sigma^2 = p(1-p) \leqslant \dfrac{1}{4}$. Quelle est la taille minimale entière de $n$ permettant de garantir, par l'inégalité de concentration, $p\!\left(|F_n - p| \geqslant 0{,}01\right) \leqslant 0{,}01$ ?

Un fabricant produit des pièces dont la masse $X$ a pour espérance $\mu = 50$ g et pour écart-type $\sigma = 1$ g. Sur un lot de $n = 100$ pièces, la moyenne $M_n$ est calculée. Quelle est la plus grande minoration de $p\!\left(|M_n - 50| < 0{,}5\right)$ que l'on peut déduire de l'inégalité de concentration ?