Utiliser un tableau à double entrée (probabilités conditionnelles)
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À partir d'un tableau à double entrée d'effectifs (ou de fréquences), on peut calculer toutes les probabilités utiles :
- Étape 1 : repérer l'effectif total $N$ (case en bas à droite du tableau).
- Étape 2 : pour calculer $p(A)$, identifier la ligne ou la colonne correspondant à $A$ et diviser son total par $N$.
- Étape 3 : pour calculer $p(A \cap B)$, lire l'effectif de la case croisant la ligne $A$ et la colonne $B$, puis diviser par $N$.
- Étape 4 : pour calculer $p_A(B)$, se restreindre à la ligne (ou colonne) de $A$ et calculer la fraction $\dfrac{\text{effectif de } A \cap B}{\text{effectif de } A}$.
Remarque
Le tableau à double entrée est particulièrement adapté quand les données sont fournies en effectifs. Il évite la formule $p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}$ : on lit directement la proportion sur la ligne ou la colonne pertinente.
Sondage dans un lycée
On a interrogé $250$ lycéens sur leur niveau et leur participation à une option facultative :
| Avec option | Sans option | Total | |
| Première | $42$ | $78$ | $120$ |
| Terminale | $51$ | $79$ | $130$ |
| Total | $93$ | $157$ | $250$ |
On choisit un lycéen au hasard. On note $T$ « l'élève est en Terminale » et $O$ « l'élève suit l'option ».
Étape 1 : effectif total $N = 250$.
Étape 2 : calcul de $p(T)$ — total de la ligne « Terminale » divisé par $N$ :
Étape 3 : calcul de $p(T \cap O)$ — case croisant Terminale et Avec option :
Étape 4 : calcul de $p_T(O)$ — on se restreint aux $130$ Terminales, parmi lesquels $51$ suivent l'option :
Environ $39{,}2\,\%$ des Terminales suivent l'option.
Comparer deux probabilités conditionnelles
Avec le même tableau, calculer $p_O(T)$ et comparer à $p_T(O)$.
Étape 1 : on se restreint cette fois à la colonne « Avec option ». Parmi les $93$ élèves avec option, $51$ sont en Terminale.
Étape 2 :
Étape 3 : comparaison :
Les deux probabilités conditionnelles sont différentes : elles répondent à deux questions distinctes.
Attention
Pièges fréquents :
- Diviser par $N$ au lieu de l'effectif de l'événement conditionnant pour calculer $p_A(B)$ : ce serait calculer $p(A \cap B)$.
- Confondre les lignes et les colonnes : bien identifier quel événement est associé à chaque entrée du tableau.
- Croire que $p_A(B) = p_B(A)$ : ces deux probabilités ont presque toujours des valeurs distinctes.