Calculer une probabilité conditionnelle
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Pour calculer la probabilité de $B$ sachant $A$, notée $p_A(B)$ :
- Étape 1 : identifier les deux événements concernés et vérifier que $p(A) \neq 0$.
Étape 2 : choisir la formule adaptée selon les données :
- si l'on connaît $p(A)$ et $p(A \cap B)$ : appliquer directement $p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}$ ;
- si l'on dispose d'un arbre pondéré : la valeur cherchée se lit directement sur la branche reliant $A$ à $B$ ;
- si l'on dispose d'un tableau d'effectifs : utiliser la définition « parmi les issues réalisant $A$, la proportion réalisant aussi $B$ ».
- Étape 3 : effectuer le calcul et présenter le résultat sous forme de fraction simplifiée ou de valeur décimale.
Remarque
Bien distinguer $p_A(B)$ et $p(A \cap B)$ :
- $p(A \cap B)$ est la probabilité que $A$ et $B$ se produisent.
- $p_A(B)$ est la probabilité que $B$ se produise sachant que $A$ est déjà réalisé.
Application directe de la formule
On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $p(A) = 0{,}6$ et $p(A \cap B) = 0{,}24$. Calculer $p_A(B)$.
Étape 1 : on a bien $p(A) = 0{,}6 \neq 0$, la formule s'applique.
Étape 2 :
Étape 3 :
Sachant que $A$ est réalisé, il y a $40\,\%$ de chances que $B$ le soit aussi.
Calcul à partir d'un tableau
Dans un club de sport, on relève le sexe et la pratique principale des $200$ adhérents :
| Tennis | Natation | Total | |
| Hommes | $48$ | $32$ | $80$ |
| Femmes | $54$ | $66$ | $120$ |
| Total | $102$ | $98$ | $200$ |
On choisit un adhérent au hasard. On note $F$ « l'adhérent est une femme » et $T$ « l'adhérent pratique le tennis ». Calculer $p_F(T)$.
Étape 1 : $p(F) = \dfrac{120}{200} = 0{,}6 \neq 0$.
Étape 2 : sachant que la personne est une femme, on se restreint à la ligne « Femmes » du tableau. Parmi les $120$ femmes, $54$ jouent au tennis :
Étape 3 : simplification de la fraction :
Attention
Pièges fréquents :
- Confondre $p_A(B)$ et $p_B(A)$ : ce sont deux probabilités différentes (sauf cas particulier).
- Diviser par $p(B)$ au lieu de $p(A)$ : on divise toujours par la probabilité de l'événement conditionnant (celui qui suit le mot « sachant »).
- Oublier de vérifier que $p(A) \neq 0$ avant d'appliquer la formule.