Appliquer la formule des probabilités totales
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Pour calculer la probabilité d'un événement $B$ à l'aide de la formule des probabilités totales :
- Étape 1 : identifier une partition $\{A_1, A_2, \dots, A_n\}$ de l'univers $\Omega$ (souvent $\{A, \overline A\}$).
- Étape 2 : déterminer les probabilités $p(A_i)$ et les probabilités conditionnelles $p_{A_i}(B)$ à l'aide de l'énoncé ou de l'arbre pondéré.
Étape 3 : appliquer la formule
$p(B) = p(A_1) \times p_{A_1}(B) + p(A_2) \times p_{A_2}(B) + \dots + p(A_n) \times p_{A_n}(B)$- Étape 4 : effectuer le calcul et donner le résultat sous forme décimale ou fractionnaire.
Remarque
Sur un arbre pondéré, $p(B)$ est la somme des probabilités de tous les chemins menant à $B$. Chaque chemin se calcule en multipliant les probabilités inscrites sur ses branches.
Cas particulier de la partition {A ; non A}
Une chaîne de production utilise deux machines $M_1$ et $M_2$. La machine $M_1$ produit $70\,\%$ des pièces ; la machine $M_2$ produit le reste. On sait que $2\,\%$ des pièces produites par $M_1$ sont défectueuses, contre $5\,\%$ pour $M_2$. On prélève une pièce au hasard. Quelle est la probabilité $p(D)$ qu'elle soit défectueuse ?
Étape 1 : partition $\{M_1, M_2\}$ (la pièce vient nécessairement de l'une des deux machines).
Étape 2 : données de l'énoncé :
Étape 3 : application de la formule des probabilités totales :
Étape 4 : calcul :
$p(D) = 0{,}7 \times 0{,}02 + 0{,}3 \times 0{,}05$
$p(D) = 0{,}014 + 0{,}015$
Environ $2{,}9\,\%$ des pièces produites sont défectueuses.
Partition à trois événements
Un magasin reçoit ses téléphones de trois fournisseurs $A$, $B$ et $C$, dans les proportions $50\,\%$, $30\,\%$ et $20\,\%$. La probabilité qu'un téléphone soit défectueux est $0{,}01$ chez $A$, $0{,}03$ chez $B$ et $0{,}04$ chez $C$. On prélève un téléphone au hasard. Calculer la probabilité $p(D)$ qu'il soit défectueux.
Étape 1 : partition $\{A, B, C\}$.
Étape 2 :
Étape 3 :
$p(D) = p(A) \times p_A(D) + p(B) \times p_B(D) + p(C) \times p_C(D)$
Étape 4 : calcul :
$p(D) = 0{,}5 \times 0{,}01 + 0{,}3 \times 0{,}03 + 0{,}2 \times 0{,}04$
$p(D) = 0{,}005 + 0{,}009 + 0{,}008$
Attention
Erreurs fréquentes :
- Oublier un événement de la partition : la somme des $p(A_i)$ doit valoir $1$.
- Multiplier $p(A_i) \times p(B)$ au lieu de $p(A_i) \times p_{A_i}(B)$ : ce serait supposer l'indépendance, ce qui est rarement le cas.
- Additionner uniquement les probabilités conditionnelles $p_{A_i}(B)$ : il faut bien pondérer chaque terme par $p(A_i)$.