Construire un arbre pondéré (probabilités conditionnelles)
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Pour modéliser une expérience aléatoire à deux étapes (ou plus) à l'aide d'un arbre pondéré :
- Étape 1 : identifier les événements de la première étape (souvent une partition de $\Omega$, par exemple $\{A, \overline A\}$). Tracer une branche depuis la racine vers chaque événement.
- Étape 2 : sur chacune de ces branches, inscrire la probabilité de l'événement correspondant : $p(A)$, $p(\overline A)$.
- Étape 3 : pour chaque nœud du premier niveau, tracer les branches de la deuxième étape (vers $B$ et $\overline B$ par exemple).
- Étape 4 : sur chaque branche du second niveau, inscrire la probabilité conditionnelle : $p_A(B)$ sur la branche $A \to B$, $p_A(\overline B)$ sur la branche $A \to \overline B$, etc.
- Étape 5 : vérifier que la somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à $1$.
Remarque
Sur un arbre pondéré :
- les probabilités du premier niveau sont des probabilités « simples » ;
- les probabilités des niveaux suivants sont toujours des probabilités conditionnelles (sachant l'événement du niveau précédent).
Tirage avec remise
Une urne contient $4$ boules rouges et $6$ boules vertes. On tire une première boule, on la remet, puis on tire une seconde boule. On note $R_1$ « la première boule est rouge » et $R_2$ « la seconde boule est rouge ».
Étape 1 : première étape — événements $R_1$ et $\overline{R_1}$.
Étape 2 : comme la boule est remise, le second tirage est indépendant du premier. Les probabilités conditionnelles sont donc égales aux probabilités simples :
et de même $p_{\overline{R_1}}(R_2) = 0{,}4$, $p_{\overline{R_1}}(\overline{R_2}) = 0{,}6$.
Étape 3 : vérification des sommes :
Situation avec dépendance
Dans un lycée, $52\,\%$ des élèves sont des filles. Parmi les filles, $80\,\%$ pratiquent un sport ; parmi les garçons, $65\,\%$ pratiquent un sport. On choisit un élève au hasard. On note $F$ « l'élève est une fille » et $S$ « l'élève pratique un sport ».
Étape 1 : premier niveau : la partition $\{F, \overline F\}$.
Étape 2 : second niveau — les pourcentages de l'énoncé donnent directement les probabilités conditionnelles.
Étape 3 : vérification : $0{,}52 + 0{,}48 = 1$, $0{,}80 + 0{,}20 = 1$, $0{,}65 + 0{,}35 = 1$. L'arbre est correctement pondéré.
Attention
Erreurs fréquentes :
- Inscrire $p(A \cap B)$ sur la branche du second niveau au lieu de $p_A(B)$ : la valeur sur la branche est toujours conditionnelle.
- Oublier la vérification finale : si la somme en un nœud n'est pas $1$, l'arbre comporte une erreur.
- Confondre une situation avec remise (indépendance, probabilités constantes) et une situation sans remise (les probabilités du second tirage dépendent du résultat du premier).