Démontrer (ou réfuter) l’indépendance de deux événements
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteRappel
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :
De manière équivalente, lorsque $p(A) \neq 0$ : $p_A(B) = p(B)$.
Méthode
Pour démontrer (ou réfuter) que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants :
- Étape 1 : calculer $p(A)$, $p(B)$ et $p(A \cap B)$ à partir de l'énoncé (tableau, arbre, formule).
- Étape 2 : calculer le produit $p(A) \times p(B)$.
Étape 3 : comparer $p(A \cap B)$ et $p(A) \times p(B)$ :
- s'ils sont égaux, $A$ et $B$ sont indépendants ;
- s'ils sont différents, $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
- Étape 4 : conclure par une phrase.
Remarque
Variante équivalente : on peut comparer $p_A(B)$ à $p(B)$ (à condition que $p(A) \neq 0$). C'est souvent plus rapide quand un tableau ou un arbre fournit directement la probabilité conditionnelle.
Test direct sur un tableau
Une enquête porte sur $400$ adultes :
| Lunettes | Sans lunettes | Total | |
| Hommes | $80$ | $120$ | $200$ |
| Femmes | $80$ | $120$ | $200$ |
| Total | $160$ | $240$ | $400$ |
On note $L$ « la personne porte des lunettes » et $H$ « la personne est un homme ». $L$ et $H$ sont-ils indépendants ?
Étape 1 : lecture du tableau :
Étape 2 : calcul du produit :
Étape 3 : comparaison :
Étape 4 : les événements $H$ et $L$ sont indépendants : porter des lunettes ne dépend pas du sexe dans cette enquête.
Réfutation de l'indépendance
Dans une classe de $30$ élèves, on relève :
| Bilingue | Non bilingue | Total | |
| Filles | $12$ | $6$ | $18$ |
| Garçons | $4$ | $8$ | $12$ |
| Total | $16$ | $14$ | $30$ |
Soit $F$ « élève fille » et $B$ « élève bilingue ». $F$ et $B$ sont-ils indépendants ?
Étape 1 :
Étape 2 :
Étape 3 : comparaison :
Étape 4 : les événements $F$ et $B$ ne sont pas indépendants : être bilingue est lié au sexe dans cette classe.
Attention
Pièges fréquents :
- Confondre indépendance et incompatibilité : deux événements incompatibles ($A \cap B = \varnothing$) ne sont jamais indépendants si $p(A) > 0$ et $p(B) > 0$.
- Conclure à l'indépendance sans calcul, en se fiant à une intuition sur le contexte.
- Utiliser $p_A(B) = p_B(A)$ comme critère : ce n'est pas la définition de l'indépendance.