Translations et pavages
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1. La translation
Translation
Transformer une figure par translation, c'est la faire glisser le long d'une droite, sans la tourner ni la déformer.
Une translation est définie par :
- une direction (celle de la droite le long de laquelle on glisse)
- un sens (de gauche à droite, de bas en haut, etc.)
- une longueur (la distance parcourue par chaque point)
Exemple
Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par une translation. Chaque point a glissé de 6 carreaux vers la droite et 2 carreaux vers le haut.
Les flèches vertes matérialisent ce déplacement : elles ont toutes la même direction, le même sens et la même longueur.
Les deux triangles sont superposables : la figure n'a été ni tournée, ni retournée, ni déformée.
Remarque
La translation est une transformation du plan, comme la symétrie axiale (vue en 6e) et la symétrie centrale (vue en 5e). Contrairement aux symétries, la translation ne retourne pas la figure.
2. Le vecteur de translation
Vecteur
Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par :
- une direction (celle de la droite qui le porte)
- un sens (indiqué par la flèche)
- une longueur (aussi appelée norme)
Le vecteur d'origine $A$ et d'extrémité $B$ se note $\overrightarrow{AB}$.
Translation de vecteur
La translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ est la translation qui transforme le point $A$ en le point $B$.
Si $M'$ est l'image d'un point $M$ par cette translation, alors $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}$.
Lien avec le parallélogramme
Si $M'$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$, alors le quadrilatère $ABM'M$ est un parallélogramme (éventuellement aplati lorsque $M$ appartient à la droite $(AB)$).
Exemple
Pour trouver l'image de $M$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$, on construit le point $M'$ tel que $ABM'M$ soit un parallélogramme. Les côtés $[AB]$ et $[MM']$ sont parallèles et de même longueur. Les côtés $[AM]$ et $[BM']$ sont aussi parallèles et de même longueur.
Vecteurs égaux
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
Vecteurs égaux et parallélogramme
$ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
Exemple
Soit $ABCD$ un parallélogramme. On a $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ : ces deux vecteurs ont la même direction (les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles), le même sens et la même longueur ($AB = DC$).
La translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ transforme $D$ en $C$.
De même, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ : la translation de vecteur $\overrightarrow{AD}$ transforme $B$ en $C$.
3. Propriétés de la translation
Propriétés de conservation
Soient $A'$, $B'$, $C'$ les images respectives des points $A$, $B$, $C$ par une même translation. Cette translation conserve :
- les longueurs : $A'B' = AB$
- l'alignement : si $A$, $B$, $C$ sont alignés, alors $A'$, $B'$, $C'$ sont alignés
- les angles : $\widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC}$
- le parallélisme : si $(AB) /\!/ (CD)$, alors $(A'B') /\!/ (C'D')$
- les aires : la figure et son image ont la même aire
Remarque
La figure et son image par une translation sont superposables. La translation ne modifie ni la forme ni les dimensions : elle change uniquement la position.
Exemple
Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ avec $AB = 3$ cm, $BC = 4$ cm et $AC = 5$ cm. Son image par une translation est le triangle $A'B'C'$.
Par conservation des longueurs : $A'B' = 3$ cm, $B'C' = 4$ cm et $A'C' = 5$ cm.
Par conservation des angles : le triangle $A'B'C'$ est rectangle en $B'$.
Par conservation des aires : l'aire de $A'B'C'$ vaut $\dfrac{3 \times 4}{2} = 6$ cm², comme celle de $ABC$.
4. Construire l'image d'une figure par translation
Remarque
Pour construire l'image d'une figure par translation, on construit l'image de chaque sommet séparément, puis on relie les images dans le même ordre.
Construction sur quadrillage
On veut construire l'image du rectangle $EFGH$ par la translation qui transforme $I$ en $J$, sachant que $J$ est situé 5 carreaux à droite et 3 carreaux vers le haut par rapport à $I$.
On applique le même déplacement (5 carreaux à droite, 3 vers le haut) à chaque sommet du rectangle :
- $E$ donne $E'$, $F$ donne $F'$, $G$ donne $G'$, $H$ donne $H'$
On relie $E'$, $F'$, $G'$, $H'$ dans cet ordre pour obtenir le rectangle image $E'F'G'H'$.
Construction au compas
Sans quadrillage, on peut construire l'image du point $M$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ en construisant le parallélogramme $ABM'M$ :
- Compas en $M$ avec l'ouverture $AB$ : tracer un arc de cercle.
- Compas en $B$ avec l'ouverture $AM$ : tracer un arc qui coupe le premier.
- L'intersection des deux arcs est le point $M'$.
Attention
- Construire l'image de chaque sommet séparément, puis relier. Ne pas chercher à déplacer la figure entière d'un seul coup.
- Sur un quadrillage, vérifier que le même déplacement (même nombre de carreaux horizontaux et verticaux) est bien appliqué à chaque sommet.
5. Frises et pavages
Frise
Une frise est un dessin contenu dans une bande (entre deux droites parallèles) dont un motif se répète régulièrement dans une seule direction par translation.
Exemple
La frise ci-dessus est construite à partir du motif encadré en rouge (un triangle). La translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ permet de passer d'un motif au suivant : en appliquant cette translation plusieurs fois, on reproduit le motif tout au long de la bande.
Pavage
Un pavage (ou dallage) est un assemblage de figures qui recouvre le plan entier, sans trou ni superposition. Le motif est reproduit dans deux directions par des translations.
Exemple
Ce pavage est obtenu en reproduisant un motif carré (contenant deux triangles) par deux translations : la translation de vecteur $\vec{u}$ (vers la droite) et la translation de vecteur $\vec{v}$ (vers le haut). Le plan est entièrement recouvert sans trou ni superposition.
Remarque
- Dans une frise, le motif se répète dans une seule direction (le long de la bande).
- Dans un pavage, le motif se répète dans deux directions et recouvre tout le plan.
Les carrelages au sol, les murs en briques ou les motifs sur du papier peint sont des exemples courants de pavages.
Les questions essentielles
1. Comment construire l'image d'une figure par une translation ?
On repère le déplacement (horizontal et vertical sur un quadrillage, ou en construisant un parallélogramme au compas), puis on applique ce même déplacement à chaque sommet de la figure.
Voir la fiche méthode : Construire l'image d'une figure par une translation
2. Comment reconnaître des vecteurs égaux ?
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. On vérifie ces trois critères, ou on utilise le lien avec les parallélogrammes.
Voir la fiche méthode : Identifier des vecteurs égaux
3. Comment utiliser les propriétés de conservation de la translation ?
La translation conserve les longueurs, les angles, l'alignement, le parallélisme et les aires. On utilise ces propriétés pour déduire les caractéristiques de la figure image.
Voir la fiche méthode : Utiliser les propriétés de conservation de la translation
4. Comment analyser une frise ou un pavage ?
On identifie le motif qui se répète, puis on repère la ou les translations qui permettent de passer d'un motif au suivant. Une frise utilise une seule translation, un pavage en utilise deux.
Voir la fiche méthode : Analyser une frise et identifier la translation