Identifier des vecteurs égaux
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Créer un compteDeux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. On peut aussi utiliser le lien entre vecteurs égaux et parallélogrammes.
1. Vérifier les trois critères
Étape 1 : Vérifier que les deux vecteurs ont la même direction (les droites qui les portent sont parallèles).
Étape 2 : Vérifier qu'ils ont le même sens (les flèches pointent dans la même direction).
Étape 3 : Vérifier qu'ils ont la même longueur.
Vecteurs sur un quadrillage
Sur un quadrillage, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ correspond à un déplacement de 3 carreaux à droite et 2 carreaux vers le haut. Le vecteur $\overrightarrow{CD}$ correspond à un déplacement de 3 carreaux à droite et 2 carreaux vers le haut.
Étape 1 : Même direction (même pente : 2 carreaux verticaux pour 3 horizontaux).
Étape 2 : Même sens (vers la droite et vers le haut dans les deux cas).
Étape 3 : Même longueur (même déplacement : 3 à droite, 2 vers le haut).
Les trois critères sont vérifiés : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.
Vecteurs non égaux
Le vecteur $\overrightarrow{EF}$ correspond à un déplacement de 4 carreaux à droite et 1 carreau vers le haut. Le vecteur $\overrightarrow{GH}$ correspond à un déplacement de 4 carreaux à gauche et 1 carreau vers le bas.
Étape 1 : Même direction (même pente).
Étape 2 : Sens opposé ($\overrightarrow{EF}$ va vers la droite, $\overrightarrow{GH}$ va vers la gauche).
Le critère du sens n'est pas vérifié : $\overrightarrow{EF} \neq \overrightarrow{GH}$.
Ces deux vecteurs ont la même direction et la même longueur, mais pas le même sens : ce sont des vecteurs opposés.
2. Utiliser le lien avec les parallélogrammes
Étape 1 : Repérer un quadrilatère $ABCD$ dont on sait (ou dont on veut montrer) que c'est un parallélogramme.
Étape 2 : Si $ABCD$ est un parallélogramme, alors $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
Vecteurs dans un parallélogramme
$RSTU$ est un parallélogramme.
Étape 1 : Les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles et de même longueur.
Étape 2 : On en déduit les égalités de vecteurs :
$\overrightarrow{RS} = \overrightarrow{UT}$ (les vecteurs parcourent les côtés opposés $[RS]$ et $[UT]$ dans le même sens)
$\overrightarrow{RU} = \overrightarrow{ST}$ (les vecteurs parcourent les côtés opposés $[RU]$ et $[ST]$ dans le même sens)
Cela signifie que la translation de vecteur $\overrightarrow{RS}$ transforme $U$ en $T$, et la translation de vecteur $\overrightarrow{RU}$ transforme $S$ en $T$.
Attention
- Ne pas confondre même direction et même sens : deux vecteurs de même direction et même longueur mais de sens contraire ne sont pas égaux. Ce sont des vecteurs opposés.
- Sur un quadrillage, compter en respectant le signe du déplacement : 3 carreaux à droite n'est pas la même chose que 3 carreaux à gauche.
- Dans un parallélogramme $ABCD$, l'égalité est $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (et non $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$). Bien respecter le sens de parcours.