Utiliser les propriétés de conservation de la translation
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Créer un compteLa translation conserve les longueurs, les angles, l'alignement, le parallélisme et les aires. On utilise ces propriétés pour déduire les caractéristiques de la figure image sans avoir à la construire.
Méthode
Étape 1 : Identifier les propriétés de la figure d'origine (nature, longueurs, angles, parallélisme, aire).
Étape 2 : Appliquer les propriétés de conservation pour en déduire les propriétés de la figure image.
Étape 3 : Conclure sur la nature ou les dimensions de la figure image.
Déterminer la nature de la figure image
Le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle de longueur 6 cm et de largeur 4 cm. Son image par une translation est le quadrilatère $A'B'C'D'$. Déterminer la nature et les dimensions de $A'B'C'D'$.
Étape 1 : $ABCD$ est un rectangle. Il possède 4 angles droits, des côtés opposés parallèles et de même longueur : $AB = CD = 6$ cm et $BC = AD = 4$ cm.
Étape 2 : Par conservation des longueurs : $A'B' = 6$ cm, $B'C' = 4$ cm, $C'D' = 6$ cm, $D'A' = 4$ cm.
Par conservation des angles : les quatre angles de $A'B'C'D'$ sont droits.
Par conservation du parallélisme : les côtés opposés de $A'B'C'D'$ sont parallèles.
Étape 3 : Le quadrilatère $A'B'C'D'$ est un rectangle de longueur 6 cm et de largeur 4 cm.
L'aire est aussi conservée : $\mathcal{A}(A'B'C'D') = 6 \times 4 = 24$ cm².
Démontrer un alignement
Les points $E$, $F$, $G$ sont alignés. Le point $H$ appartient à la droite $(EF)$ tel que $EH = 3$ cm. On note $E'$, $F'$, $G'$, $H'$ leurs images respectives par une même translation. Démontrer que $H'$ appartient à la droite $(E'F')$.
Étape 1 : $E$, $F$, $G$ sont alignés, et $H$ appartient à la droite $(EF)$, donc $E$, $H$, $F$ sont alignés.
Étape 2 : Par conservation de l'alignement, les images $E'$, $H'$, $F'$ sont aussi alignés.
Étape 3 : Donc $H'$ appartient à la droite $(E'F')$.
De plus, par conservation des longueurs, $E'H' = EH = 3$ cm.
Démontrer un parallélisme
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. On note $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ les images respectives de $A$, $B$, $C$, $D$ par une même translation. Que peut-on dire des droites $(A'B')$ et $(C'D')$ ?
Étape 1 : $(AB) /\!/ (CD)$.
Étape 2 : Par conservation du parallélisme, $(A'B') /\!/ (C'D')$.
Étape 3 : Les droites $(A'B')$ et $(C'D')$ sont parallèles.
Attention
- La translation conserve la forme et les dimensions, mais elle change la position de la figure. Ne pas écrire que la figure image est « au même endroit ».
- La nature de la figure est toujours conservée : l'image d'un carré est un carré, l'image d'un cercle est un cercle de même rayon, l'image d'un triangle isocèle est un triangle isocèle.
- Bien citer la propriété utilisée dans une démonstration : « par conservation des longueurs par translation », « par conservation des angles par translation », etc.