Calculer une longueur intermédiaire avec Thalès
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteRemarque
Dans certains exercices, la longueur cherchée n'est pas directement un côté de l'un des deux triangles emboîtés. Il faut alors exprimer les côtés en fonction de la longueur cherchée avant d'appliquer le théorème.
Méthode
Étapes
- Étape 1 : Repérer la configuration de Thalès (triangles emboîtés et droites parallèles).
- Étape 2 : Écrire l'égalité des rapports donnée par le théorème de Thalès.
- Étape 3 : Exprimer les côtés des triangles en fonction de la longueur cherchée.
- Étape 4 : Remplacer dans l'égalité des rapports et résoudre.
- Étape 5 : En déduire la longueur demandée.
Exemple 1 : calculer un sous-segment
Sur la figure, les points $M$, $E$, $G$ sont alignés (dans cet ordre) et les points $M$, $F$, $H$ sont alignés (dans cet ordre). Les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont parallèles.
On donne : $ME = 6$ cm, $EG = 4$ cm et $MF = 9$ cm. Calculer $FH$.
Solution
Étape 1 : Les triangles $MEF$ et $MGH$ sont emboîtés et $(EF) /\!/ (GH)$.
Étape 2 : D'après le théorème de Thalès :
$\dfrac{ME}{MG} = \dfrac{MF}{MH}$
Étape 3 : La longueur $FH$ n'apparaît pas directement dans les rapports. On exprime les côtés :
$MG = ME + EG = 6 + 4 = 10$ cm
$MH = MF + FH = 9 + FH$ (longueur inconnue)
Étape 4 : On peut d'abord calculer $MH$ :
$\dfrac{6}{10} = \dfrac{9}{MH}$
$MH = \dfrac{9 \times 10}{6} = \dfrac{90}{6} = 15$ cm
Étape 5 : On en déduit :
$FH = MH - MF = 15 - 9 = 6$ cm
Exemple 2 : mise en équation
Sur la figure, les points $O$, $P$, $R$ sont alignés (dans cet ordre) et les points $O$, $Q$, $S$ sont alignés (dans cet ordre). Les droites $(PQ)$ et $(RS)$ sont parallèles.
On donne : $PR = 10$ cm, $OQ = 3$ cm et $QS = 5$ cm. Calculer $OP$.
Solution
Étape 1 : Les triangles $OPQ$ et $ORS$ sont emboîtés et $(PQ) /\!/ (RS)$.
Étape 2 : D'après le théorème de Thalès :
$\dfrac{OP}{OR} = \dfrac{OQ}{OS}$
Étape 3 : On ne connaît ni $OP$ ni $OR$. On pose $OP = x$, d'où :
$OR = OP + PR = x + 10$
$OS = OQ + QS = 3 + 5 = 8$
Étape 4 : On remplace dans l'égalité :
$\dfrac{x}{x + 10} = \dfrac{3}{8}$
Par produit en croix :
$8x = 3(x + 10)$
$8x = 3x + 30$
$8x - 3x = 30$
$5x = 30$
$x = 6$
Étape 5 : La longueur $OP$ est donc égale à $6$ cm.
Attention
- Ne pas chercher à placer la longueur demandée directement dans les rapports si elle n'est pas un côté d'un des triangles.
- Il est souvent plus simple de calculer d'abord le côté du triangle correspondant, puis d'en déduire la longueur demandée par addition ou soustraction.
- Si la mise en équation est nécessaire, bien poser l'inconnue et écrire les côtés en fonction de $x$ avant de remplacer.