Déterminer si deux droites sont parallèles avec Thalès
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteMéthode
Étapes
- Étape 1 : Repérer les triangles emboîtés et vérifier que les points sont dans le même ordre.
- Étape 2 : Calculer séparément chaque rapport.
- Étape 3 : Comparer les deux rapports.
Étape 4 : Conclure :
- si les rapports sont égaux, les droites sont parallèles (réciproque du théorème de Thalès)
- si les rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles (contraposée du théorème de Thalès)
Remarque
Ne jamais écrire $\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{OB}{OB'}$ avant d'avoir vérifié que les rapports sont bien égaux. Calculer d'abord chaque rapport de son côté.
Exemple 1 : droites parallèles
Les triangles $OAB$ et $OCD$ sont emboîtés avec $A$ entre $O$ et $C$, $B$ entre $O$ et $D$.
On donne : $OA = 5$ cm, $OC = 15$ cm, $OB = 3$ cm et $OD = 9$ cm.
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?
Solution
Étape 1 : Les triangles $OAB$ et $OCD$ sont emboîtés. Les points $O$, $A$, $C$ et les points $O$, $B$, $D$ sont dans le même ordre.
Étape 2 : On calcule séparément chaque rapport :
$\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$
$\dfrac{OB}{OD} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$
Étape 3 : On constate que $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD} = \dfrac{1}{3}$.
Étape 4 : Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Exemple 2 : droites non parallèles
Les triangles $OEF$ et $OGH$ sont emboîtés avec $E$ entre $O$ et $G$, $F$ entre $O$ et $H$.
On donne : $OE = 3$ cm, $OG = 8$ cm, $OF = 4$ cm et $OH = 10$ cm.
Les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont-elles parallèles ?
Solution
Étape 1 : Les triangles $OEF$ et $OGH$ sont emboîtés. Les points $O$, $E$, $G$ et les points $O$, $F$, $H$ sont dans le même ordre.
Étape 2 : On calcule séparément chaque rapport :
$\dfrac{OE}{OG} = \dfrac{3}{8}$
$\dfrac{OF}{OH} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$
Étape 3 : On compare : $\dfrac{3}{8} \neq \dfrac{2}{5}$ (car $3 \times 5 = 15$ et $8 \times 2 = 16$, donc les produits en croix sont différents).
Étape 4 : Les rapports ne sont pas égaux. Si les droites $(EF)$ et $(GH)$ étaient parallèles, d'après le théorème de Thalès on aurait $\dfrac{OE}{OG} = \dfrac{OF}{OH}$. Ce n'est pas le cas, donc les droites $(EF)$ et $(GH)$ ne sont pas parallèles.
Attention
- Toujours préciser que les points sont dans le même ordre avant de citer la réciproque du théorème de Thalès.
- Pour prouver que deux droites sont parallèles, on cite la réciproque du théorème de Thalès.
- Pour prouver que deux droites ne sont pas parallèles, on raisonne par la contraposée : si elles étaient parallèles, les rapports seraient égaux d'après le théorème de Thalès. Comme ils ne le sont pas, les droites ne sont pas parallèles.
- Ne pas citer la réciproque quand les droites ne sont pas parallèles.