Démontrer qu’un triangle est rectangle
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Créer un compteLorsqu'on connaît les longueurs des trois côtés d'un triangle, on peut vérifier s'il est rectangle grâce à la réciproque du théorème de Pythagore.
Démontrer qu'un triangle est rectangle
- Repérer le plus grand côté du triangle.
- Calculer le carré de la longueur du plus grand côté.
- Calculer la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
- Comparer les deux résultats : s'ils sont égaux, le triangle est rectangle (l'angle droit est opposé au plus grand côté).
Avec des nombres entiers
Soit un triangle $ABC$ tel que $AB = 8$ cm, $BC = 15$ cm et $AC = 17$ cm. Démontrer que $ABC$ est un triangle rectangle.
Étape 1 : Le plus grand côté est $[AC]$ avec $AC = 17$ cm.
Étape 2 : On calcule le carré du plus grand côté :
$AC^2 = 17^2 = 289$
Étape 3 : On calcule la somme des carrés des deux autres côtés :
$AB^2 + BC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$
Étape 4 : On constate que $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
Avec des nombres décimaux
Soit un triangle $SUV$ tel que $SU = 5{,}4$ cm, $UV = 7{,}2$ cm et $SV = 9$ cm. Le triangle $SUV$ est-il rectangle ?
Étape 1 : Le plus grand côté est $[SV]$ avec $SV = 9$ cm.
Étape 2 : On calcule le carré du plus grand côté :
$SV^2 = 9^2 = 81$
Étape 3 : On calcule la somme des carrés des deux autres côtés :
$SU^2 + UV^2 = 5{,}4^2 + 7{,}2^2 = 29{,}16 + 51{,}84 = 81$
Étape 4 : On constate que $SV^2 = SU^2 + UV^2$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $SUV$ est rectangle en $U$.
Attention
- Toujours commencer par identifier le plus grand côté, c'est lui qu'on compare aux deux autres.
- Calculer les deux expressions séparément avant de comparer : ne pas écrire directement l'égalité avant de l'avoir vérifiée.
- Ne pas oublier de préciser en quel sommet se trouve l'angle droit : c'est le sommet opposé au plus grand côté.