Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle
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Créer un compteLorsqu'on connaît les longueurs des trois côtés d'un triangle et que l'on veut démontrer qu'il n'est pas rectangle, on utilise la contraposée du théorème de Pythagore.
Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle
- Repérer le plus grand côté du triangle.
- Calculer le carré de la longueur du plus grand côté.
- Calculer la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
- Comparer les deux résultats : s'ils sont différents, le triangle n'est pas rectangle.
Premier exemple
Soit un triangle $DEF$ tel que $DE = 6$ cm, $EF = 9$ cm et $DF = 11$ cm. Le triangle $DEF$ est-il rectangle ?
Étape 1 : Le plus grand côté est $[DF]$ avec $DF = 11$ cm.
Étape 2 : On calcule le carré du plus grand côté :
$DF^2 = 11^2 = 121$
Étape 3 : On calcule la somme des carrés des deux autres côtés :
$DE^2 + EF^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117$
Étape 4 : On constate que $DF^2 \neq DE^2 + EF^2$ (car $121 \neq 117$).
D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $DEF$ n'est pas rectangle.
Deuxième exemple
Soit un triangle $KLM$ tel que $KL = 4$ cm, $LM = 5$ cm et $KM = 7$ cm. Le triangle $KLM$ est-il rectangle ?
Étape 1 : Le plus grand côté est $[KM]$ avec $KM = 7$ cm.
Étape 2 : On calcule le carré du plus grand côté :
$KM^2 = 7^2 = 49$
Étape 3 : On calcule la somme des carrés des deux autres côtés :
$KL^2 + LM^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$
Étape 4 : On constate que $KM^2 \neq KL^2 + LM^2$ (car $49 \neq 41$).
D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $KLM$ n'est pas rectangle.
Attention
- La démarche est la même que pour la réciproque, seule la conclusion change : si les deux résultats sont différents, le triangle n'est pas rectangle.
- Toujours écrire les deux résultats puis constater leur inégalité. Ne pas écrire directement « $\neq$ » sans avoir calculé.
- Si par erreur on obtient l'égalité, c'est que le triangle est rectangle : revoir la conclusion.