Solides et volumes
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1. Pyramide
Pyramide
Une pyramide est un solide qui possède :
- une face appelée base, qui est un polygone (triangle, carré, rectangle...)
- un point appelé sommet, situé en dehors du plan de la base
- des faces latérales triangulaires reliant chaque côté de la base au sommet
La hauteur de la pyramide est le segment issu du sommet, perpendiculaire au plan de la base.
Exemple
La pyramide $SABCD$ ci-dessus a pour base le carré $ABCD$ et pour sommet $S$.
Elle possède quatre faces latérales : les triangles $SAB$, $SBC$, $SCD$ et $SDA$.
Le segment $[SH]$ est la hauteur : il est perpendiculaire au plan de la base.
En perspective cavalière, les arêtes cachées ($[CD]$, $[DA]$ et $[SD]$) sont tracées en pointillés.
Remarque
La perspective cavalière est la technique de représentation des solides sur une feuille :
- les arêtes visibles sont en trait plein
- les arêtes cachées sont en pointillés
Patron d'une pyramide
Le patron d'une pyramide est composé de la base (en vraie grandeur) et d'autant de triangles que la base a de côtés. Chaque triangle a pour base un côté du polygone.
2. Cône de révolution
Cône de révolution
Un cône de révolution est un solide qui possède :
- une base en forme de disque, de centre $O$ et de rayon $r$
- un sommet $S$ situé sur la perpendiculaire à la base passant par $O$
La hauteur du cône est la longueur $SO$.
Une génératrice est un segment reliant le sommet $S$ à un point du cercle de base. Toutes les génératrices ont la même longueur.
Exemple
Le cône ci-dessus a pour sommet $S$ et pour base le disque de centre $O$ et de rayon $r$.
La hauteur $h = SO$ est perpendiculaire à la base.
On obtient un cône de révolution en faisant tourner un triangle rectangle autour de l'un des côtés de l'angle droit.
Patron d'un cône de révolution
Le patron d'un cône de révolution est composé de :
- un disque de rayon $r$ (la base)
- un secteur de disque dont le rayon est égal à la longueur de la génératrice (la surface latérale)
3. Volume d'une pyramide et d'un cône
Volume d'une pyramide
Le volume d'une pyramide est :
où $h$ est la hauteur de la pyramide.
Volume d'une pyramide à base carrée
Une pyramide a pour base un carré de côté $6$ cm et pour hauteur $h = 10$ cm.
L'aire de la base vaut :
$\mathcal{A} = 6 \times 6 = 36$ cm²
Le volume vaut :
$V = \dfrac{36 \times 10}{3} = \dfrac{360}{3} = 120$ cm³
Volume d'une pyramide à base rectangulaire
Une pyramide a pour base un rectangle de $5$ cm sur $3$ cm et pour hauteur $h = 8$ cm.
L'aire de la base vaut :
$\mathcal{A} = 5 \times 3 = 15$ cm²
Le volume vaut :
$V = \dfrac{15 \times 8}{3} = \dfrac{120}{3} = 40$ cm³
Volume d'un cône de révolution
Le volume d'un cône de révolution de rayon de base $r$ et de hauteur $h$ est :
Volume d'un cône
Un cône de révolution a un rayon de base $r = 5$ cm et une hauteur $h = 12$ cm.
$V = \dfrac{\pi \times 5^2 \times 12}{3}$
$V = \dfrac{\pi \times 25 \times 12}{3}$
$V = \dfrac{300\pi}{3}$
$V = 100\pi$ cm³
$V \approx 314{,}2$ cm³
Attention
- Ne pas oublier de diviser par $3$ dans la formule du volume.
- Vérifier que la base et la hauteur sont dans la même unité avant de calculer.
- Pour le cône, l'aire de la base circulaire est $\pi r^2$ : la formule $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$ s'applique directement.
4. Se repérer dans l'espace
Coordonnées dans un pavé droit
Dans un parallélépipède rectangle (pavé droit), on repère un point $M$ à partir d'un sommet pris comme origine $O$ et de trois arêtes issues de $O$ servant d'axes :
- l'axe des abscisses $(Ox)$
- l'axe des ordonnées $(Oy)$
- l'axe des cotes $(Oz)$, aussi appelé axe des altitudes
Les coordonnées du point $M$ sont notées $(x_M \,;\, y_M \,;\, z_M)$.
Exemple
Le pavé droit $OABCDEFG$ ci-dessus a pour dimensions $OA = 6$, $OC = 3$ et $OD = 4$.
Les axes sont portés par les arêtes $[OA]$ (abscisses), $[OC]$ (ordonnées) et $[OD]$ (cotes).
Pour trouver les coordonnées d'un sommet, on suit les arêtes parallèles à chaque axe depuis l'origine :
- $O(0 \,;\, 0 \,;\, 0)$
- $A(6 \,;\, 0 \,;\, 0)$
- $B(6 \,;\, 3 \,;\, 0)$
- $C(0 \,;\, 3 \,;\, 0)$
- $D(0 \,;\, 0 \,;\, 4)$
- $E(6 \,;\, 0 \,;\, 4)$
- $F(6 \,;\, 3 \,;\, 4)$
- $G(0 \,;\, 3 \,;\, 4)$
Remarque
L'ordre des coordonnées est toujours le même : abscisse ($x$), puis ordonnée ($y$), puis cote ($z$). Ne pas les confondre.
5. Unités de volume et agrandissement-réduction
Conversions d'unités de volume
Les unités de volume sont liées par un facteur $1\,000$ :
La correspondance avec les litres est :
Exemple
Convertir :
$57 \text{ dm}^3 = 57 \text{ L}$ car $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$.
$0{,}5 \text{ m}^3 = 0{,}5 \times 1\,000 = 500 \text{ dm}^3 = 500 \text{ L}$.
$267 \text{ cm}^3 = \dfrac{267}{1\,000} = 0{,}267 \text{ dm}^3 = 0{,}267 \text{ L}$.
Conversions de vitesse
Pour les unités de vitesse composées :
- pour convertir des km/h en m/s, on divise par $3{,}6$
- pour convertir des m/s en km/h, on multiplie par $3{,}6$
En effet : $1 \text{ km/h} = \dfrac{1\,000 \text{ m}}{3\,600 \text{ s}} = \dfrac{1}{3{,}6} \text{ m/s}$.
Exemple
Un cycliste roule à $36$ km/h. Convertir en m/s.
$36 \text{ km/h} = \dfrac{36}{3{,}6} = 10 \text{ m/s}$
Effet d'un agrandissement-réduction sur les volumes
Lorsqu'on multiplie toutes les longueurs d'un solide par un coefficient $k$ :
- les longueurs sont multipliées par $k$
- les aires sont multipliées par $k^2$
- les volumes sont multipliés par $k^3$
Exemple
On agrandit un cône en multipliant toutes ses dimensions par $2$.
Le rayon passe de $r$ à $2r$ et la hauteur de $h$ à $2h$.
Le nouveau volume est :
$V' = \dfrac{\pi \times (2r)^2 \times 2h}{3} = \dfrac{\pi \times 4r^2 \times 2h}{3} = 8 \times \dfrac{\pi r^2 h}{3} = 8V$
Le volume est bien multiplié par $2^3 = 8$.
Attention
Ne pas confondre les effets de l'agrandissement : si on double les dimensions, l'aire est multipliée par $4$ (et non par $2$) et le volume est multiplié par $8$ (et non par $2$).
Les questions essentielles
1. Comment calculer le volume d'une pyramide ?
On calcule d'abord l'aire de la base (selon sa forme : carré, rectangle, triangle...), puis on applique la formule $V = \dfrac{\text{Aire de la base} \times h}{3}$.
Voir la fiche méthode : Calculer le volume d'une pyramide
2. Comment calculer le volume d'un cône de révolution ?
On identifie le rayon de base $r$ et la hauteur $h$, puis on applique la formule $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$.
Voir la fiche méthode : Calculer le volume d'un cône de révolution
3. Comment lire les coordonnées d'un point dans un pavé droit ?
On part de l'origine $O$ et on suit les arêtes parallèles à chaque axe pour rejoindre le point. Le premier nombre est l'abscisse ($x$), le deuxième l'ordonnée ($y$), le troisième la cote ($z$).
Voir la fiche méthode : Se repérer dans un pavé droit
4. Comment convertir des unités de volume ?
On utilise la relation $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$ et le facteur $\times 1\,000$ entre chaque unité successive ($\text{m}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{mm}^3$).
Voir la fiche méthode : Convertir des unités de volume