Équations du premier degré
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Créer un compteObjectifs du chapitre
1 - Notion d'équation
Équation
Une équation est une égalité qui contient un ou plusieurs nombres inconnus, désignés par des lettres (souvent $ x $).
- L'expression située à gauche du signe $ = $ est le membre de gauche.
- L'expression située à droite du signe $ = $ est le membre de droite.
- La lettre qui représente le nombre inconnu s'appelle l'inconnue.
Exemple
$ 3x + 5 = 17 $ est une équation d'inconnue $ x $.
- Le membre de gauche est $ 3x + 5 $.
- Le membre de droite est $ 17 $.
Solution d'une équation
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. Chacune de ces valeurs est appelée une solution de l'équation.
Remarque
Une équation du premier degré (l'inconnue $ x $ n'apparait qu'à la puissance 1) admet au plus une solution.
Tester si un nombre est solution
Pour vérifier si un nombre est solution d'une équation, on remplace l'inconnue par ce nombre dans chaque membre. Si les deux membres sont égaux, le nombre est solution.
Exemple
Le nombre $ 4 $ est-il solution de l'équation $ 3x + 5 = 17 $ ?
On remplace $ x $ par $ 4 $ dans chaque membre :
Membre de gauche : $ 3 \times 4 + 5 = 12 + 5 = 17 $
Membre de droite : $ 17 $
Les deux membres sont égaux, donc $ 4 $ est solution de l'équation.
Exemple
Le nombre $ 3 $ est-il solution de l'équation $ 5x - 2 = 2x + 10 $ ?
On remplace $ x $ par $ 3 $ dans chaque membre :
Membre de gauche : $ 5 \times 3 - 2 = 15 - 2 = 13 $
Membre de droite : $ 2 \times 3 + 10 = 6 + 10 = 16 $
Les deux membres ne sont pas égaux ($ 13 \neq 16 $), donc $ 3 $ n'est pas solution de l'équation.
2 - Résoudre une équation du premier degré
Pour résoudre une équation, on transforme l'équation de départ en équations équivalentes de plus en plus simples, jusqu'à isoler l'inconnue.
Règles de transformation
- On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une équation sans changer sa solution.
- On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une équation par un même nombre non nul sans changer sa solution.
Remarque
En pratique, « ajouter $ 5 $ aux deux membres » revient à « faire passer $ -5 $ de l'autre côté en changeant son signe ».
Équations de la forme $ ax + b = c $
Exemple
Résoudre l'équation $ 3x + 7 = 25 $.
On soustrait $ 7 $ aux deux membres :
$ 3x + 7 - 7 = 25 - 7 $
$ 3x = 18 $
On divise les deux membres par $ 3 $ :
$ \dfrac{3x}{3} = \dfrac{18}{3} $
$ x = 6 $
La solution de l'équation est $ 6 $.
Vérification : $ 3 \times 6 + 7 = 18 + 7 = 25 $. C'est correct.
Exemple
Résoudre l'équation $ -8x - 1 = 27 $.
On ajoute $ 1 $ aux deux membres :
$ -8x - 1 + 1 = 27 + 1 $
$ -8x = 28 $
On divise les deux membres par $ -8 $ :
$ x = \dfrac{28}{-8} = -\dfrac{7}{2} = -3{,}5 $
La solution de l'équation est $ -3{,}5 $.
Équations de la forme $ ax + b = cx + d $
Lorsque l'inconnue apparait dans les deux membres, on regroupe tous les termes contenant $ x $ d'un côté et les nombres de l'autre.
Exemple
Résoudre l'équation $ 5x + 2 = 3 - 4x $.
On ajoute $ 4x $ aux deux membres pour regrouper les termes en $ x $ à gauche :
$ 5x + 4x + 2 = 3 - 4x + 4x $
$ 9x + 2 = 3 $
On soustrait $ 2 $ aux deux membres :
$ 9x = 3 - 2 $
$ 9x = 1 $
On divise les deux membres par $ 9 $ :
$ x = \dfrac{1}{9} $
La solution de l'équation est $ \dfrac{1}{9} $.
Exemple
Résoudre l'équation $ 7x - 3 = 4x + 9 $.
On soustrait $ 4x $ aux deux membres :
$ 7x - 4x - 3 = 9 $
$ 3x - 3 = 9 $
On ajoute $ 3 $ aux deux membres :
$ 3x = 12 $
On divise les deux membres par $ 3 $ :
$ x = 4 $
La solution de l'équation est $ 4 $.
Vérification : $ 7 \times 4 - 3 = 28 - 3 = 25 $ et $ 4 \times 4 + 9 = 16 + 9 = 25 $. C'est correct.
Équations avec des fractions
Lorsque l'équation contient des fractions, on peut multiplier les deux membres par le dénominateur pour se ramener à une équation sans fraction.
Exemple
Résoudre l'équation $ \dfrac{x - 3}{4} = x + 3 $.
On multiplie les deux membres par $ 4 $ :
$ x - 3 = 4(x + 3) $
On développe le membre de droite :
$ x - 3 = 4x + 12 $
On soustrait $ 4x $ aux deux membres :
$ x - 4x - 3 = 12 $
$ -3x - 3 = 12 $
On ajoute $ 3 $ aux deux membres :
$ -3x = 15 $
On divise les deux membres par $ -3 $ :
$ x = -5 $
La solution de l'équation est $ -5 $.
Attention
Avant de résoudre une équation contenant des parenthèses, il faut d'abord développer puis réduire chaque membre. On regroupe ensuite les termes en $ x $ d'un côté et les nombres de l'autre.
Exemple
Résoudre l'équation $ 3(x - 2) = 5(2 - x) $.
On développe chaque membre :
$ 3x - 6 = 10 - 5x $
On ajoute $ 5x $ aux deux membres :
$ 3x + 5x - 6 = 10 $
$ 8x - 6 = 10 $
On ajoute $ 6 $ aux deux membres :
$ 8x = 16 $
On divise les deux membres par $ 8 $ :
$ x = 2 $
La solution de l'équation est $ 2 $.
3 - Mise en équation d'un problème
De nombreux problèmes concrets peuvent se résoudre en les traduisant par une équation.
Méthode de mise en équation
- Choix de l'inconnue : identifier la grandeur cherchée et la noter $ x $.
- Mise en équation : traduire les informations de l'énoncé par une égalité contenant $ x $.
- Résolution : résoudre l'équation obtenue.
- Conclusion : interpréter le résultat et vérifier qu'il répond à la question posée.
Problème arithmétique
On pense à un nombre. On le multiplie par $ 5 $ et on ajoute $ 3 $. On obtient $ 28 $. Quel est ce nombre ?
Choix de l'inconnue : on note $ x $ le nombre cherché.
Mise en équation : « on le multiplie par $ 5 $ et on ajoute $ 3 $ » donne l'expression $ 5x + 3 $. Le résultat est $ 28 $, donc :
$ 5x + 3 = 28 $
Résolution :
$ 5x = 28 - 3 $
$ 5x = 25 $
$ x = 5 $
Conclusion : le nombre cherché est $ 5 $.
Vérification : $ 5 \times 5 + 3 = 25 + 3 = 28 $. C'est correct.
Problème géométrique
Le périmètre d'un rectangle est $ 54 $ cm. Sa longueur mesure $ 5 $ cm de plus que sa largeur. Calculer les dimensions de ce rectangle.
Choix de l'inconnue : on note $ x $ la largeur du rectangle (en cm).
La longueur vaut alors $ x + 5 $.
Mise en équation : le périmètre d'un rectangle est $ 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) $, donc :
$ 2(x + x + 5) = 54 $
Résolution :
$ 2(2x + 5) = 54 $
$ 4x + 10 = 54 $
$ 4x = 44 $
$ x = 11 $
Conclusion : la largeur est $ 11 $ cm et la longueur est $ 11 + 5 = 16 $ cm.
Vérification : $ 2 \times (16 + 11) = 2 \times 27 = 54 $ cm. C'est correct.
Problème de partage
Deux amis se partagent $ 90 $ euros de telle manière que la part du premier soit le double de celle du second. Calculer la part de chacun.
Choix de l'inconnue : on note $ x $ la part du second (en euros).
La part du premier vaut alors $ 2x $.
Mise en équation : la somme des deux parts est $ 90 $ euros, donc :
$ x + 2x = 90 $
Résolution :
$ 3x = 90 $
$ x = 30 $
Conclusion : le second recoit $ 30 $ euros et le premier recoit $ 2 \times 30 = 60 $ euros.
Vérification : $ 30 + 60 = 90 $ euros et $ 60 = 2 \times 30 $. C'est correct.
Les questions essentielles
1. Comment tester si un nombre est solution d'une équation ?
On remplace l'inconnue par ce nombre dans chaque membre de l'équation, on calcule séparément les deux résultats, et on compare : s'ils sont égaux, le nombre est solution.
Voir la fiche méthode : Tester si un nombre est solution d'une équation
2. Comment résoudre une équation de la forme ax + b = c ?
On isole d'abord le terme en $ x $ en soustrayant (ou ajoutant) la constante, puis on divise par le coefficient de $ x $. On vérifie ensuite le résultat.
Voir la fiche méthode : Résoudre une équation de la forme ax + b = c
3. Comment résoudre une équation avec x dans les deux membres ?
On regroupe tous les termes en $ x $ d'un côté et tous les nombres de l'autre, puis on divise par le coefficient de $ x $. Il faut d'abord développer les éventuelles parenthèses.
Voir la fiche méthode : Résoudre une équation avec x dans les deux membres
4. Comment résoudre une équation contenant des fractions ?
On multiplie les deux membres par le dénominateur (ou le plus petit multiple commun des dénominateurs) pour supprimer les fractions, puis on résout l'équation obtenue.
Voir la fiche méthode : Résoudre une équation contenant des fractions
5. Comment mettre un problème en équation ?
On suit quatre étapes : choisir l'inconnue et la nommer $ x $, traduire l'énoncé par une équation, résoudre l'équation, puis interpréter le résultat et vérifier qu'il est cohérent avec l'énoncé.
Voir la fiche méthode : Mettre un problème en équation