Mettre un problème en équation
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De nombreux problèmes concrets (géométrie, partage, âge, achat) peuvent se résoudre en traduisant l'énoncé par une équation.
Méthode en quatre étapes
- Choix de l'inconnue : identifier la grandeur cherchée et la noter $ x $. Préciser ce que $ x $ représente et son unité.
- Mise en équation : exprimer les données de l'énoncé en fonction de $ x $ et écrire l'égalité.
- Résolution : résoudre l'équation.
- Conclusion : interpréter le résultat en répondant à la question et vérifier la cohérence avec l'énoncé.
Problème de partage
Trois amis se partagent $ 156 $ euros. Le deuxième recoit le double du premier et le troisième recoit $ 12 $ euros de plus que le premier. Combien recoit chacun ?
Étape 1 : On note $ x $ la part du premier (en euros).
Le deuxième recoit $ 2x $ et le troisième recoit $ x + 12 $.
Étape 2 : La somme des trois parts est $ 156 $ :
$ x + 2x + (x + 12) = 156 $
Étape 3 : On résout :
$ 4x + 12 = 156 $
$ 4x = 156 - 12 $
$ 4x = 144 $
$ x = 36 $
Étape 4 :
Le premier recoit $ 36 $ euros, le deuxième recoit $ 2 \times 36 = 72 $ euros et le troisième recoit $ 36 + 12 = 48 $ euros.
Vérification : $ 36 + 72 + 48 = 156 $ euros. C'est correct.
Problème géométrique
Un triangle isocèle a un périmètre de $ 38 $ cm. La base mesure $ 6 $ cm de moins que chacun des deux côtés égaux. Calculer les dimensions du triangle.
Étape 1 : On note $ x $ la longueur d'un côté égal (en cm).
La base mesure $ x - 6 $.
Étape 2 : Le périmètre est la somme des trois côtés :
$ x + x + (x - 6) = 38 $
Étape 3 : On résout :
$ 3x - 6 = 38 $
$ 3x = 44 $
$ x = \dfrac{44}{3} $
Comme $ \dfrac{44}{3} $ n'est pas un nombre entier, vérifions que la base est bien positive : $ \dfrac{44}{3} - 6 = \dfrac{44 - 18}{3} = \dfrac{26}{3} > 0 $. C'est cohérent.
Étape 4 :
Les deux côtés égaux mesurent chacun $ \dfrac{44}{3} $ cm (soit environ $ 14{,}7 $ cm) et la base mesure $ \dfrac{26}{3} $ cm (soit environ $ 8{,}7 $ cm).
Vérification : $ \dfrac{44}{3} + \dfrac{44}{3} + \dfrac{26}{3} = \dfrac{114}{3} = 38 $ cm. C'est correct.
Problème d'âge
Un père a $ 42 $ ans et son fils a $ 12 $ ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le triple de l'âge de son fils ?
Étape 1 : On note $ x $ le nombre d'années cherché.
Dans $ x $ années, le père aura $ 42 + x $ ans et le fils aura $ 12 + x $ ans.
Étape 2 : L'âge du père sera le triple de l'âge du fils :
$ 42 + x = 3(12 + x) $
Étape 3 : On résout :
$ 42 + x = 36 + 3x $
$ 42 - 36 = 3x - x $
$ 6 = 2x $
$ x = 3 $
Étape 4 :
Dans $ 3 $ ans, le père aura $ 45 $ ans et le fils aura $ 15 $ ans.
Vérification : $ 45 = 3 \times 15 $. C'est correct.
Attention
Erreurs fréquentes à éviter :
- Toujours préciser ce que représente $ x $ avec son unité. Sans cette étape, la mise en équation n'a pas de sens.
- Relire l'énoncé pour vérifier que l'équation traduit bien toutes les conditions du problème.
- Ne pas oublier l'étape de conclusion : le résultat de l'équation n'est pas toujours directement la réponse au problème (parfois il faut encore calculer d'autres grandeurs).