Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction
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En seconde et en première, seuls 3 types d'expressions posent problème :
- 1er cas : L'expression de $ f $ est de la forme $ f\left(x\right)=\dfrac{N}{D} $
$ f $ est définie lorsque $ D\neq 0 $ (on ne peut pas diviser par zéro) - 2ème cas : L'expression de $ f $ est de la forme $ f\left(x\right)=\sqrt{R} $
$ f $ est définie lorsque $ R\geqslant 0 $ (la racine carrée n'existe que pour des nombres positifs ou nuls) - 3ème cas : L'expression de $ f $ est de la forme $ f\left(x\right)=\dfrac{N}{\sqrt{R}} $
$ f $ est définie lorsque $ R > 0 $ (c'est une combinaison des 2 cas précédents...)
Dans les autres cas étudiés en seconde et en première, les fonctions sont en général définies sur $ \mathbb{R} $, c'est à dire qu'on peut calculer l'image de n'importe quel nombre réel.
Exemple
Donner l'ensemble de définition de la fonction $ f : x \mapsto \dfrac{x+2}{x - 3} $
$ f $ est définie si et seulement si le dénominateur est différent de 0.
(Attention : le numérateur, lui, peut très bien être nul, cela ne pose pas de problème ! )
Or $ x - 3 \neq 0 $ si et seulement si $ x\neq 3 $
Donc $ f $ est définie pour toutes les valeurs de $ x $ différentes de 3. On écrit $ D_{f} = \mathbb{R}\backslash\left\{3\right\} $ ou encore $ D_{f}=\left] - \infty ; 3\right[ \cup \left]3 ; +\infty \right[ $
Exemple
Donner l'ensemble de définition de la fonction $ f : x \mapsto \sqrt{x - 1} $
$ f $ est définie si et seulement si l'expression située sous le radical est positive ou nulle.
C'est à dire, ici, si et seulement si $ x - 1\geqslant 0 $ donc $ x\geqslant 1 $.
L'ensemble de définition est donc $ D_{f}=\left[1 ; +\infty \right[ $
L'intervalle est fermé en $ 1 $ car $ x $ peut prendre la valeur $ 1 $.
Exemple
Donner l'ensemble de définition de la fonction $ f : x \mapsto \dfrac{x+3}{\sqrt{3x - 2}} $
On est ici dans le troisième cas avec un radical au dénominateur.
$ f $ est définie si et seulement si l'expression située sous le radical est strictement positive.
C'est à dire, ici, si et seulement si $ 3x - 2 > 0 $. Donc si et seulement si $ 3x > 2 $, c'est à dire $ x > \dfrac{2}{3} $.
L'ensemble de définition est donc $ D_{f}=\left]\dfrac{2}{3} ; +\infty \right[ $
L'intervalle est ouvert en $ \dfrac{2}{3} $ car $ x $ ne peut pas prendre la valeur $ \dfrac{2}{3} $.
Remarque
Parfois, un intervalle d'étude plus restreint est proposé dans l'énoncé. Par exemple :
« Soit la fonction $ f $ définie sur $ \left]3 ; +\infty \right[ $ par $ f\left(x\right)=\dfrac{x+2}{x - 3} $ »
On a vu dans l'exemple 1 que l'on pouvait définir $ f $ sur $ \left] - \infty ; 3\right[ \cup \left]3 ; +\infty \right[ $, mais ici l'auteur du sujet a choisi de restreindre l'ensemble de définition (par exemple pour simplifier les questions qui suivent).
Il faut, bien entendu, suivre les indications de l'énoncé dans ce cas.