Vecteurs et droites
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Créer un compteObjectifs du chapitre
- Déterminer une équation cartésienne connaissant un point et un vecteur directeur
- Déterminer une équation cartésienne d'une droite passant par deux points
- Trouver un vecteur directeur d'une droite donnée par une équation cartésienne
- Étudier la position relative de deux droites à partir de leurs équations cartésiennes
- Calculer les coordonnées du centre de gravité d'un triangle
1. Vecteurs et repère cartésien
Définition (Vecteurs colinéaires)
On dit que deux vecteurs non nuls $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ sont colinéaires s'il existe un réel $ k $ tel que $ \vec{v} = k\vec{u} $
Vecteurs colinéaires
Remarque
- Par convention, on considère que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan
- Deux vecteurs colinéaires ont la même « direction » ; ils ont le même sens si $ k > 0 $ et sont de sens contraire si $ k < 0 $.
Définition
On dit que le vecteur non nul $ \vec{u} $ est un vecteur directeur de la droite $ d $ si et seulement si il existe deux points $ A $ et $ B $ de $ d $ tels que $ \vec{u}=\overrightarrow{AB} $.
Vecteur directeur
Propriété
Trois points distincts $ A, B $ et $ C $ sont alignés si et seulement si les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ sont colinéaires.
Propriété
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
Théorème et définitions
Soient $ O $ un point et $ \vec{i} $ et $ \vec{j} $ deux vecteurs non colinéaires du plan.
Le triplet $ \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right) $ s'appelle un repère cartésien du plan.
Pour tout point $ M $ du plan, il existe deux réels $ x $ et $ y $ tels que :
$ \overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j} $Pour tout vecteur $ \vec{u} $ du plan, il existe deux réels $ x $ et $ y $ tels que :
$ \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j} $
Le couple $ \left(x ; y\right) $ s'appelle le couple de coordonnées du point $ M $ (ou du vecteur $ \vec{u} $) dans le repère $ \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right) $
Coordonnées dans un repère cartésien
Remarque
Dans ce chapitre, les repères utilisés ne seront pas nécessairement orthonormés.
L'étude spécifique des repères orthonormés sera détaillée dans le chapitre « produit scalaire ».
Propriété
On se place dans un repère $ \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right) $.
Soient deux points $ A\left(x_{A} ; y_{A}\right) $ et $ B\left(x_{B} ; y_{B}\right) $, alors :
- Le vecteur $ \overrightarrow{AB} $ a pour coordonnées $ \left(x_{B} - x_{A} ; y_{B} - y_{A}\right) $
- Le milieu $ M $ de $ \left[AB\right] $ a pour coordonnées $ M \left(\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2} ; \dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}\right) $
Théorème
Soient $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ deux vecteurs de coordonnées respectives $ \left(x ; y\right) $ et $ \left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) $ dans un repère $ \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right) $. Les vecteurs $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c'est-à-dire si et seulement si :
2. Équations de droites
Dans cette partie, on se place dans un repère $ \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right) $ (non nécessairement orthonormé).
Théorème
Soit $ d $ une droite passant par un point $ A $ et de vecteur directeur $ \vec{u} $.
Un point $ M $ appartient à la droite $ d $ si et seulement si les vecteurs $ \overrightarrow{AM} $ et $ \vec{u} $ sont colinéaires.
Exemple
Soient le point $ A\left(0;1\right) $ et le vecteur $ \vec{u}\left(1; - 1\right) $. Le point $ M\left(x ; y\right) $ appartient à la droite passant par $ A $ et de vecteur directeur $ \vec{u} $ si et seulement si $ \overrightarrow{AM} $ et $ \vec{u} $ sont colinéaires. Or les coordonnées de $ \overrightarrow{AM} $ sont $ \left(x ; y - 1\right) $ donc :
$ M \in d \Leftrightarrow x\times \left( - 1\right) - \left(y - 1\right)\times 1=0 \Leftrightarrow - x - y+1=0 $
Cette dernière égalité s'appelle une équation cartésienne de la droite $ d $.
Théorème
Toute droite du plan possède une équation cartésienne du type :
où $ a, b $ et $ c $ sont trois réels.
Réciproquement, l'ensemble des points $ M\left(x ; y\right) $ tels que $ ax+by+c=0 $ où $ a, b $ et $ c $ sont trois réels avec $ a\neq 0 $ ou $ b\neq 0 $ est une droite.
Remarque
- Une droite possède une infinité d'équation cartésienne (il suffit de multiplier une équation par un facteur non nul pour obtenir une équation équivalente).
Si $ b\neq 0 $ l'équation peut s'écrire :
$ ax+by+c= 0 \Leftrightarrow by= - ax - c \Leftrightarrow y= - \dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b} $
qui est de la forme $ y=mx+p $ (en posant $ m= - \dfrac{a}{b} $ et $ p= - \dfrac{c}{b} $).
Cette forme est appelée équation réduite de la droite.
Ce cas correspond à une droite qui n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.
Si $ b=0 $ et $ a\neq 0 $ l'équation peut s'écrire :
$ ax+c= 0 \Leftrightarrow ax= - c \Leftrightarrow x= - \dfrac{c}{a} $
qui est du type $ x=k $ (en posant $ k= - \dfrac{c}{a} $)
Ce cas correspond à une droite qui est parallèle à l'axe des ordonnées.
Propriété
Soit $ d $ une droite d'équation $ ax+by+c=0 $.
Le vecteur $ \vec{u} $ de coordonnées $ \left( - b ; a\right) $ est un vecteur directeur de la droite $ d $.
Démonstration
Voir exercice : « Équation cartésienne - Vecteur directeur ».
Théorème
Soient $ A\left(x_A ; y_A\right) $ un point et $ \vec{u}\left(\alpha ; \beta\right) $ un vecteur non nul.
La droite $ d $ passant par $ A $ et de vecteur directeur $ \vec{u} $ admet pour équation cartésienne :
Exemple
Soient $ A\left(2 ; 1\right) $ et $ \vec{u}\left(3 ; -1\right) $.
La droite passant par $ A $ de vecteur directeur $ \vec{u} $ a pour équation :
$ -1\times\left(x - 2\right) - 3\times\left(y - 1\right) = 0 $
$ -x+2 - 3y+3 = 0 $
Soit, après simplification :
Propriété
Soient $ A\left(x_A ; y_A\right) $ et $ B\left(x_B ; y_B\right) $ deux points distincts.
Une équation cartésienne de la droite $ \left(AB\right) $ est :
Exemple
Soient $ A\left(1 ; 2\right) $ et $ B\left(4 ; 3\right) $.
On a $ x_B - x_A = 3 $ et $ y_B - y_A = 1 $, donc une équation de $ \left(AB\right) $ est :
$ 1\times\left(x - 1\right) - 3\times\left(y - 2\right) = 0 $
$ x - 1 - 3y+6 = 0 $
3. Centre de gravité d'un triangle
Propriété
Soient $ A\left(x_A ; y_A\right) $, $ B\left(x_B ; y_B\right) $ et $ C\left(x_C ; y_C\right) $ trois points non alignés.
Le centre de gravité $ G $ du triangle $ ABC $ est le point d'intersection des trois médianes. Ses coordonnées sont :
Remarque
Le centre de gravité $ G $ est aussi caractérisé par l'égalité vectorielle $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0} $.
De plus, pour toute médiane $ \left(AA'\right) $ (où $ A' $ est le milieu de $ \left[BC\right] $) :
Les questions essentielles
1. Comment déterminer une équation cartésienne d'une droite connaissant un point et un vecteur directeur ?
On applique la formule $ \beta\left(x - x_A\right) - \alpha\left(y - y_A\right) = 0 $, où $ A\left(x_A ; y_A\right) $ est le point et $ \vec{u}\left(\alpha ; \beta\right) $ le vecteur directeur, puis on développe pour obtenir la forme $ ax+by+c = 0 $.
Voir la fiche méthode : Déterminer une équation cartésienne connaissant un point et un vecteur directeur
2. Comment trouver une équation cartésienne d'une droite passant par deux points ?
On calcule d'abord les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB}\left(x_B - x_A ; y_B - y_A\right) $, puis on applique la formule avec $ A $ et $ \overrightarrow{AB} $ comme vecteur directeur.
Voir la fiche méthode : Déterminer une équation cartésienne d'une droite passant par deux points
3. Comment lire un vecteur directeur sur une équation cartésienne ?
Si la droite a pour équation $ ax+by+c = 0 $, alors $ \vec{u}\left(-b ; a\right) $ est un vecteur directeur. On permute $ a $ et $ b $, puis on change le signe du premier.
Voir la fiche méthode : Trouver un vecteur directeur d'une droite donnée par une équation cartésienne
4. Comment étudier la position relative de deux droites à partir de leurs équations cartésiennes ?
On calcule le déterminant $ ab^{\prime} - a^{\prime}b $. S'il est non nul, les droites sont sécantes ; s'il est nul, elles sont parallèles (confondues ou strictement parallèles, à vérifier en testant un point).
Voir la fiche méthode : Étudier la position relative de deux droites à partir de leurs équations cartésiennes
5. Comment calculer les coordonnées du centre de gravité d'un triangle ?
Les coordonnées de $ G $ sont les moyennes des coordonnées des trois sommets : $ G\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3} ; \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right) $.
Voir la fiche méthode : Calculer les coordonnées du centre de gravité d'un triangle