Déterminer une équation cartésienne connaissant un point et un vecteur directeur
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Soient $ A\left(x_A ; y_A\right) $ un point du plan et $ \vec{u}\left(\alpha ; \beta\right) $ un vecteur non nul.
Pour déterminer une équation cartésienne de la droite $ d $ passant par $ A $ et de vecteur directeur $ \vec{u} $ :
- Étape 1 : Écrire la formule $ \beta\left(x - x_A\right) - \alpha\left(y - y_A\right) = 0 $.
- Étape 2 : Remplacer $ x_A $, $ y_A $, $ \alpha $ et $ \beta $ par leurs valeurs numériques.
- Étape 3 : Développer, puis regrouper pour obtenir la forme $ ax+by+c = 0 $.
Cas standard
Déterminer une équation cartésienne de la droite $ d $ passant par $ A\left(2 ; -1\right) $ et de vecteur directeur $ \vec{u}\left(3 ; 4\right) $.
Solution
Étape 1 : On applique la formule avec $ \alpha = 3 $ et $ \beta = 4 $ :
Étape 2 : On remplace $ x_A = 2 $ et $ y_A = -1 $ :
Étape 3 : On développe puis on regroupe :
$ 4x - 8 - 3\left(y+1\right) = 0 $
$ 4x - 8 - 3y - 3 = 0 $
Une équation cartésienne de $ d $ est donc $ \color{red}{4x - 3y - 11 = 0}\color{black} $.
Vecteur directeur avec une coordonnée nulle
Déterminer une équation cartésienne de la droite $ d $ passant par $ B\left(-2 ; 5\right) $ et de vecteur directeur $ \vec{v}\left(0 ; 3\right) $.
Solution
Étape 1 : On applique la formule avec $ \alpha = 0 $ et $ \beta = 3 $ :
Étape 2 : On remplace $ x_B = -2 $ :
$ 3\left(x - \left(-2\right)\right) = 0 $
Étape 3 : On développe :
$ 3x+6 = 0 $
En divisant par $ 3 $ (on obtient une équation équivalente) :
La droite $ d $ est verticale, d'équation $ \color{red}{x = -2}\color{black} $.
Remarque
Une droite possède une infinité d'équations cartésiennes : multiplier une équation par un réel non nul donne une équation équivalente. On cherche en général la forme la plus simple (coefficients entiers, premier coefficient positif).
Attention
- Ne pas confondre $ \alpha $ et $ \beta $ dans la formule : c'est $ \beta $ qui multiplie $ \left(x - x_A\right) $ et $ - \alpha $ qui multiplie $ \left(y - y_A\right) $.
- Attention aux signes lorsque $ x_A $ ou $ y_A $ est négatif : $ y - \left(-1\right) = y+1 $.