Calculer les coordonnées du centre de gravité d’un triangle
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Soient $ A\left(x_A ; y_A\right) $, $ B\left(x_B ; y_B\right) $ et $ C\left(x_C ; y_C\right) $ trois points non alignés.
Les coordonnées du centre de gravité $ G $ du triangle $ ABC $ sont :
- Étape 1 : Calculer l'abscisse : $ x_G = \dfrac{x_A+x_B+x_C}{3} $.
- Étape 2 : Calculer l'ordonnée : $ y_G = \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3} $.
Calcul direct
On considère les points $ A\left(1 ; 2\right) $, $ B\left(4 ; -1\right) $ et $ C\left(-2 ; 5\right) $.
Calculer les coordonnées du centre de gravité $ G $ du triangle $ ABC $.
Solution
Étape 1 : On calcule l'abscisse :
Étape 2 : On calcule l'ordonnée :
Le centre de gravité a pour coordonnées $ \color{red}{G\left(1 ; 2\right)}\color{black} $.
Vérification par la caractérisation vectorielle
Soient $ A\left(0 ; 3\right) $, $ B\left(6 ; 0\right) $ et $ C\left(3 ; 6\right) $.
Calculer les coordonnées de $ G $ puis vérifier que $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = \vec{0} $.
Solution
Étape 1 : $ x_G = \dfrac{0+6+3}{3} = \dfrac{9}{3} = 3 $.
Étape 2 : $ y_G = \dfrac{3+0+6}{3} = \dfrac{9}{3} = 3 $.
Donc $ G\left(3 ; 3\right) $.
Vérification vectorielle :
$ \overrightarrow{GA}\left(0 - 3 ; 3 - 3\right) = \overrightarrow{GA}\left(-3 ; 0\right) $
$ \overrightarrow{GB}\left(6 - 3 ; 0 - 3\right) = \overrightarrow{GB}\left(3 ; -3\right) $
$ \overrightarrow{GC}\left(3 - 3 ; 6 - 3\right) = \overrightarrow{GC}\left(0 ; 3\right) $
Somme des abscisses : $ -3+3+0 = 0 $.
Somme des ordonnées : $ 0+\left(-3\right)+3 = 0 $.
Donc $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = \vec{0} $, ce qui confirme le résultat.
Remarque
Le centre de gravité vérifie aussi, pour tout sommet (par exemple $ A $) et $ A^{\prime} $ milieu de $ \left[BC\right] $ :
Autrement dit, $ G $ se situe aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet.
Attention
- Bien diviser la somme des trois coordonnées par $ 3 $ (et non par $ 2 $).
- Respecter les signes lorsque les coordonnées sont négatives.
- Le centre de gravité n'est pas le milieu d'un côté ni l'intersection des hauteurs : il s'agit bien de l'intersection des médianes.