Trouver un vecteur directeur d’une droite donnée par une équation cartésienne
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteMéthode
Soit $ d $ une droite d'équation cartésienne $ ax+by+c = 0 $ (avec $ a \neq 0 $ ou $ b \neq 0 $).
- Étape 1 : Identifier les coefficients $ a $ et $ b $ de l'équation.
- Étape 2 : Le vecteur $ \vec{u}\left(-b ; a\right) $ est un vecteur directeur de $ d $.
Astuce mémorisation : on permute $ a $ et $ b $, puis on change le signe du premier.
Remarque : ce vecteur n'est pas unique. Tout vecteur non nul colinéaire à $ \vec{u} $ est aussi un vecteur directeur de $ d $ (par exemple $ \vec{v}\left(-2b ; 2a\right) $ ou $ \vec{w}\left(b ; -a\right) $).
Lecture directe
Donner un vecteur directeur de la droite $ d $ d'équation $ 2x - 3y+5 = 0 $.
Solution
Étape 1 : On identifie $ a = 2 $ et $ b = -3 $.
Étape 2 : D'après la propriété, un vecteur directeur est :
Droite donnée sous forme réduite
On considère la droite $ d $ d'équation réduite $ y = -\dfrac{1}{2}x+4 $.
Donner un vecteur directeur de $ d $.
Solution
Étape 1 : On met l'équation sous la forme $ ax+by+c = 0 $ :
$ y = -\dfrac{1}{2}x+4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x+y - 4 = 0 $
En multipliant par $ 2 $ (équation équivalente) :
$ x+2y - 8 = 0 $
Donc $ a = 1 $ et $ b = 2 $.
Étape 2 : Un vecteur directeur est :
Vérification : le coefficient directeur est $ m = \dfrac{1}{-2} = -\dfrac{1}{2} $, ce qui correspond bien à l'équation réduite.
Remarque
Lien avec l'équation réduite. Si $ b \neq 0 $, l'équation $ ax+by+c = 0 $ équivaut à $ y = -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b} $, de coefficient directeur $ m = -\dfrac{a}{b} $.
Si $ b = 0 $ (donc $ a \neq 0 $), la droite est verticale d'équation $ x = -\dfrac{c}{a} $ : elle n'a pas d'équation réduite.
Attention
- Ne pas confondre $ \left(a ; b\right) $ et $ \left(-b ; a\right) $ : le vecteur directeur est $ \left(-b ; a\right) $.