Déterminer une équation cartésienne d’une droite passant par deux points
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Pour déterminer une équation cartésienne de la droite $ \left(AB\right) $ connaissant les coordonnées des points $ A\left(x_A ; y_A\right) $ et $ B\left(x_B ; y_B\right) $ :
- Étape 1 : Calculer les coordonnées du vecteur directeur $ \overrightarrow{AB}\left(x_B - x_A ; y_B - y_A\right) $.
Étape 2 : Appliquer la formule avec le point $ A $ et le vecteur $ \overrightarrow{AB}\left(\alpha ; \beta\right) $ :
$ \beta\left(x - x_A\right) - \alpha\left(y - y_A\right) = 0 $- Étape 3 : Développer et réduire pour obtenir la forme $ ax+by+c = 0 $.
Justification de la formule de l'étape 2 : un point $ M\left(x ; y\right) $ appartient à la droite $ \left(AB\right) $ si et seulement si les vecteurs $ \overrightarrow{AM} $ et $ \overrightarrow{AB} $ sont colinéaires.
Or $ \overrightarrow{AM}\left(x - x_A ; y - y_A\right) $ et $ \overrightarrow{AB}\left(\alpha ; \beta\right) $. La colinéarité de ces deux vecteurs équivaut à la nullité de leur déterminant :
ce qui donne bien la formule annoncée à l'étape 2.
Deux points à coordonnées entières
Déterminer une équation cartésienne de la droite $ \left(AB\right) $ avec $ A\left(1 ; 2\right) $ et $ B\left(4 ; 8\right) $.
Solution
Étape 1 : On calcule $ \overrightarrow{AB} $ :
$ \overrightarrow{AB}\left(4 - 1 ; 8 - 2\right) = \overrightarrow{AB}\left(3 ; 6\right) $
Donc $ \alpha = 3 $ et $ \beta = 6 $.
Étape 2 : On applique la formule avec $ A\left(1 ; 2\right) $ :
Étape 3 : On développe :
$ 6x - 6 - 3y+6 = 0 $
$ 6x - 3y = 0 $
On peut simplifier en divisant par $ 3 $ :
Point avec coordonnées négatives
Déterminer une équation cartésienne de $ \left(CD\right) $ avec $ C\left(-3 ; 1\right) $ et $ D\left(2 ; -4\right) $.
Solution
Étape 1 : On calcule $ \overrightarrow{CD} $ :
$ \overrightarrow{CD}\left(2 - \left(-3\right) ; -4 - 1\right) = \overrightarrow{CD}\left(5 ; -5\right) $
Étape 2 : On applique la formule avec $ C\left(-3 ; 1\right) $, $ \alpha = 5 $ et $ \beta = -5 $ :
Étape 3 : On développe :
$ -5\left(x+3\right) - 5\left(y - 1\right) = 0 $
$ -5x - 15 - 5y+5 = 0 $
$ -5x - 5y - 10 = 0 $
En divisant par $ -5 $ (pour obtenir des coefficients positifs) :
Remarque
On peut remplacer le point $ A $ par le point $ B $ à l'étape 2 : on obtient une équation équivalente.
Attention
- Toujours vérifier le résultat en substituant les coordonnées de $ A $ (puis de $ B $) dans l'équation finale : elles doivent annuler l'équation.
- Ne pas oublier de simplifier par un facteur commun pour obtenir la forme la plus lisible.