Étudier la position relative de deux droites à partir de leurs équations cartésiennes
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Soient deux droites $ d : ax+by+c = 0 $ et $ d^{\prime} : a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime} = 0 $.
- Étape 1 : Lire les vecteurs directeurs $ \vec{u}\left(-b ; a\right) $ et $ \vec{u^{\prime}}\left(-b^{\prime} ; a^{\prime}\right) $.
Étape 2 : Tester la colinéarité avec le déterminant :
$ \det\left(\vec{u}, \vec{u^{\prime}}\right) = \left(-b\right)\times a^{\prime} - \left(-b^{\prime}\right)\times a = ab^{\prime} - a^{\prime}b $Étape 3 : Conclure :
- Si $ ab^{\prime} - a^{\prime}b \neq 0 $, les droites sont sécantes.
- Si $ ab^{\prime} - a^{\prime}b = 0 $, les droites sont parallèles (confondues ou strictement parallèles).
- Étape 4 (sécantes) : Résoudre le système formé par les deux équations pour trouver les coordonnées du point d'intersection.
Droites sécantes
On donne $ d : 2x+y - 3 = 0 $ et $ d^{\prime} : x - y+6 = 0 $.
Étudier leur position relative et, si elles sont sécantes, déterminer leur point d'intersection.
Solution
Étape 1 : On lit $ a = 2 $, $ b = 1 $, $ a^{\prime} = 1 $, $ b^{\prime} = -1 $.
Étape 2 : On calcule le déterminant :
$ ab^{\prime} - a^{\prime}b = 2\times\left(-1\right) - 1\times 1 = -2 - 1 = -3 $
Étape 3 : $ ab^{\prime} - a^{\prime}b = -3 \neq 0 $, donc les droites sont sécantes.
Étape 4 : On résout le système :
$ \begin{cases} 2x+y - 3 = 0 \\ x - y+6 = 0 \end{cases} $
En additionnant les deux équations : $ 3x+3 = 0 $, donc $ x = -1 $.
On substitue dans la seconde : $ -1 - y+6 = 0 $, donc $ y = 5 $.
Le point d'intersection est $ \color{red}{I\left(-1 ; 5\right)}\color{black} $.
Droites parallèles
On donne $ d : 3x - 2y+1 = 0 $ et $ d^{\prime} : -6x+4y+7 = 0 $.
Étudier leur position relative.
Solution
Étape 1 : On lit $ a = 3 $, $ b = -2 $, $ a^{\prime} = -6 $, $ b^{\prime} = 4 $.
Étape 2 : On calcule le déterminant :
$ ab^{\prime} - a^{\prime}b = 3\times 4 - \left(-6\right)\times\left(-2\right) = 12 - 12 = 0 $
Étape 3 : Le déterminant est nul : les droites sont parallèles.
Sont-elles confondues ? On teste un point de $ d $, par exemple $ A\left(1 ; 2\right) $ (car $ 3\times 1 - 2\times 2+1 = 0 $).
On substitue dans $ d^{\prime} $ : $ -6\times 1+4\times 2+7 = -6+8+7 = 9 \neq 0 $.
Donc $ A \notin d^{\prime} $ : les droites sont strictement parallèles (non confondues).
Remarque
Pour distinguer parallèles strictes et confondues, il suffit de tester un point de l'une dans l'équation de l'autre :
- Si le point appartient aussi à l'autre droite, les droites sont confondues.
- Sinon, elles sont strictement parallèles.
Attention
- Le déterminant $ ab^{\prime} - a^{\prime}b $ est une conséquence directe de la colinéarité des vecteurs directeurs $ \vec{u}\left(-b ; a\right) $ et $ \vec{u^{\prime}}\left(-b^{\prime} ; a^{\prime}\right) $. On peut aussi le calculer directement avec $ \vec{u} $ et $ \vec{u^{\prime}} $.
- Avant de résoudre le système, s'assurer que les droites sont sécantes : sinon le système est incompatible ou a une infinité de solutions.