Les vecteurs en Seconde
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1. Notion de vecteur
Définition
Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur.
Remarque
Le mot direction désigne la direction de la droite qui « porte » ce vecteur ; le mot sens permet de définir un sens de parcours sur cette droite parmi les deux possibles.
Exemple
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ont la même direction, le même sens, la même longueur. Ils sont égaux.
Remarque
Pour nommer un vecteur on peut :
- utiliser l'origine et l'extrémité d'un représentant du vecteur : on parlera du vecteur $\overrightarrow{AB}$
- lui donner un nom à l'aide d'une lettre (en générale minuscule) : on parlera alors du vecteur $\vec{u}$
Définition
$\overrightarrow{AA}$, $\overrightarrow{BB}$, … représentent un même vecteur de longueur nulle appelé vecteur nul et noté $\overrightarrow{0}$.
Remarque
Le vecteur nul est assez particulier. En effet, contrairement aux autres vecteurs, il n'a ni direction, ni sens ! Mais il intervient souvent dans les calculs.
Définition
On appelle norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et on note $||\overrightarrow{AB}||$ la longueur du segment $\left[AB\right]$ .
Remarque
On a donc $||\overrightarrow{AB}||=AB$.
Propriété
$M$ est le milieu du segment $\left[AB\right]$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$.
Remarque
On rappelle que l'égalité de distance $AM=MB$ est insuffisante pour montrer que $M$ est le milieu de $\left[AB\right]$ (cette égalité montre seulement que M est équidistant de $A$ et $B$ c'est à dire est sur la médiatrice de $\left[AB\right]$). L'égalité de vecteurs $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$, par contre, suffit à montrer que $M$ est le milieu de $\left[AB\right]$.
Propriété
Le quadrilatère $\left(ABCD\right)$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
Remarque
- Attention à l'inversion des points $C$ et $D$ dans l'égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
- Avec cette propriété, il suffit de prouver une seule égalité pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme. C'est une méthode plus puissante que celles vues en 4ème qui nécessitaient de démontrer deux propriétés (double parallélisme ou parallélisme et égalité de longueurs, etc.)
Définition
La translation de vecteur $\vec{u}$ est la transformation du plan qui à tout point $M$ du plan associe l'unique point $M^{\prime}$ tel que $\overrightarrow{MM^{\prime}}=\vec{u}$
Translation de vecteur $\vec{u}$
2. Somme de vecteurs
On définit l'addition de deux vecteurs à l'aide de la relation de Chasles :
Propriété
Pour tous points $A$, $B$ et $C$ du plan : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (Relation de Chasles)
Relation de Chasles
Pour appliquer la relation de Chasles, il faut que l'extrémité du premier vecteur coïncide avec l'origine du second. Pour additionner deux vecteurs qui ne sont pas dans cette configuration, on « reporte l'un des vecteurs à la suite de l'autre ».
Exemple
Pour tracer la somme des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ on reporte le vecteur $\overrightarrow{CD}$ à la suite du vecteur $\overrightarrow{AB}$; cela donne le vecteur $\overrightarrow{BE}$ qui est égal au vecteur $\overrightarrow{CD}.$
On applique alors la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}$ . La somme cherchée peut donc être représentée par le vecteur $\overrightarrow{AE}.$
Cas particulier
Si les vecteurs à additionner, ont la même origine, la méthode précédente aboutit à la construction d'un parallélogramme $\left(ABDC\right)$ :
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$
Propriété
Pour tout point $A$ et $B$ du plan : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$
Définition
On dit que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ sont opposés et l'on écrit $\overrightarrow{AB}= -\overrightarrow{BA}$
Remarque
Deux vecteurs opposés ont la même direction, la même longueur et des sens contraires.
Conséquence
On peut donc définir la différence de 2 vecteurs par :
$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$
3. Produit d'un vecteur par un nombre réel
Définition
Soit $\vec{u}$ un vecteur du plan et soit $k$ un nombre réel.
On définit le vecteur $k\vec{u}$ de la manière suivante :
Si $k$ est strictement positif :
- Les vecteurs $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ ont la même direction
- Les vecteurs $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ ont le même sens
- La norme de $k\vec{u}$ est $k ||\vec{u}||$
Si $k$ est strictement négatif :
- Les vecteurs $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ ont la même direction
- Les vecteurs $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ ont des sens opposés
- La norme de $k\vec{u}$ est $-k ||\vec{u}||$
Si $k$ est nul : $k\vec{u} = 0\vec{u}$ est le vecteur nul
Exemple
Vecteurs colinéaires
Définition
On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$ ou un réel $k^{\prime}$ tel que $\vec{v} = k^{\prime}\vec{u}$
Remarque
- Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction (mais ils peuvent avoir des sens opposés)
- Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. En effet $\overrightarrow{0} = 0\vec{u}$
Propriété
Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ du plan et tous réels $k$ et $k^{\prime}$ :
- $k \left(\vec{u}+\vec{v}\right) = k\vec{u}+k\vec{v}$
- $\left(k+k^{\prime}\right) \vec{u} = k\vec{u}+k^{\prime}\vec{u}$
- $k \left(k^{\prime}\vec{u}\right) = \left(kk^{\prime}\right) \vec{u}$
Exemple
$2 \left(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\right) = 2\overrightarrow{AB} + 2 \left(3\overrightarrow{AC}\right) = 2\overrightarrow{AB} + 6\overrightarrow{AC}$
Les questions essentielles
1. Comment simplifier une somme de vecteurs ?
On utilise la relation de Chasles ($\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$), les vecteurs opposés ($\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$) et la distributivité pour regrouper et réduire les termes.
Voir la fiche méthode : Relation de Chasles et Calculs vectoriels
2. Comment construire graphiquement la somme de deux vecteurs ?
On utilise la méthode bout à bout (placer le second vecteur à la suite du premier) ou la règle du parallélogramme (quand les deux vecteurs ont la même origine).
Voir la fiche méthode : Construire la somme de deux vecteurs
3. Comment montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme avec les vecteurs ?
Il suffit de montrer qu'une paire de côtés opposés définit des vecteurs égaux : par exemple $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
Voir la fiche méthode : Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
4. Comment utiliser la colinéarité pour montrer un alignement ou un parallélisme ?
Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Voir la fiche méthode : Utiliser la colinéarité de deux vecteurs