Construire la somme de deux vecteurs
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Créer un compteIl existe deux méthodes classiques pour construire graphiquement la somme de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
Méthode 1 : bout à bout
- Étape 1 : Placer un représentant du vecteur $\vec{u}$ : choisir un point $A$ et tracer $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$.
- Étape 2 : A partir de l'extrémité $B$, placer un représentant du vecteur $\vec{v}$ : tracer $\overrightarrow{BC} = \vec{v}$.
- Étape 3 : La somme $\vec{u} + \vec{v}$ est le vecteur $\overrightarrow{AC}$.
C'est une application directe de la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
Méthode 2 : règle du parallélogramme
Lorsque les deux vecteurs ont la même origine, on utilise la règle du parallélogramme :
- Étape 1 : Placer les deux vecteurs avec la même origine : $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ et $\overrightarrow{AC} = \vec{v}$.
- Étape 2 : Construire le point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.
- Étape 3 : La somme $\vec{u} + \vec{v}$ est la diagonale $\overrightarrow{AD}$.
Construire une somme sur un quadrillage
Sur le quadrillage ci-dessous, on donne les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Construire le vecteur $\vec{u} + \vec{v}$.
Solution :
On utilise la méthode bout à bout. On choisit un point $A$ et on trace $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ (3 carreaux à droite, 1 carreau vers le haut), puis $\overrightarrow{BC} = \vec{v}$ (1 carreau à droite, 2 carreaux vers le haut).
La somme $\vec{u} + \vec{v}$ est représentée par le vecteur $\overrightarrow{AC}$ : 4 carreaux à droite et 3 carreaux vers le haut.
Somme de vecteurs de même origine
Soit $ABC$ un triangle. On pose $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$.
Construire le vecteur $\vec{u} + \vec{v}$.
Solution :
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont la même origine $A$. On utilise la règle du parallélogramme : on construit le point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.
La somme est : $\vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$.
On peut le vérifier avec la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}$ car $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$ (propriété du parallélogramme).
Remarque
La méthode bout à bout fonctionne dans tous les cas. La règle du parallélogramme est un raccourci pratique quand les deux vecteurs ont déjà la même origine.
Attention
Dans la règle du parallélogramme, la somme est la diagonale issue de l'origine commune, pas le côté. Ne pas confondre $\overrightarrow{AD}$ (la somme) avec $\overrightarrow{AB}$ ou $\overrightarrow{AC}$ (les vecteurs de départ).