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Les suites Exercices

Suites – Bac blanc ES/L Sujet 3 – Maths-cours 2018

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

L'objectif de ce problème est d'étudier la convergence de la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0=2 $ et pour tout entier naturel $ n $ :

$ u_{n+1} = 0{,}9u_n+2. $

Partie A Étude graphique

Sur le graphique fourni en Annexe (voir ci-dessous), on a représenté les droites $ D $ et $ \Delta $ d'équations respectives $ y=0{,}9x+2 $ et $ y=x $.

Ces deux droites se coupent en un point $ M $.

  1. Déterminer, par le calcul, les coordonnées exactes du point $ M $.

  2. $ A_0 $ est le point de la droite $ D $ d'abscisse $ u_0=2 $.

    Expliquer pourquoi l'ordonnée de $ A_0 $ est égale à $ u_1 $.

  3. $ B_1 $ est le point de la droite $ \Delta $ tel que la droite $ (A_0B_1) $ est parallèle à l'axe des abscisses.

    Exprimer, en fonction de $ u_1 $, les coordonnées de $ B_1 $.

  4. Compléter le graphique de l'annexe de manière à faire apparaître, sur l'axe des abscisses, les valeurs de $ u_1,\ u_2,\ u_3,\ u_4,\ u_5 $ et $ u_6 $.
  5. À l'aide du graphique, conjecturer la limite de la suite $ (u_n) $.

Partie B Utilisation d'une suite annexe

Pour tout entier naturel $ n $, on pose $ v_n=u_n - 20 $.

  1. Montrer que la suite $ (v_n) $ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  2. Exprimer $ v_n $ en fonction de $ n $.

  3. Montrer que pour tout entier naturel $ n $ :

    $ u_n=20 - 18 \times 0{,}9^n. $
  4. En déduire la limite de la suite $ (u_n) $.

ANNEXE

À rendre avec la copie

Suite récurrente - Bac blanc

Corrigé

Partie A

  1. Le point $ M $ est le point d'intersection des droites $ D $ et $ \Delta $ d'équations $ y=0{,}9x+2 $ et $ y=x $.

    Son abscisse $ x_M $ est donc solution de l'équation $ 0{,}9x_M+2 = x_M $.

    $ 0{,}9x_M+2 = x_M\ \Leftrightarrow \ 2=x_M - 0{,}9x_M $

    $ \phantom{0{,}9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ 2=0{,}1x_M $

    $ \phantom{0{,}9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ \dfrac{2}{0{,}1}=x_M $

    $ \phantom{0{,}9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ x_M=20 $.

    Comme le point $ M $ est situé sur la droite $ \Delta $ d'équation $ y=x $ son ordonnée est $ y_M=x_M=20 $.

    Les coordonnées de $ M $ sont donc $ (20~;~20) $.

  2. Le point $ A_0 $ est situé sur la droite $ D $ d'équation $ y=0{,}9x+2 $.

    Son abscisse est $ u_0 $ ; son ordonnée est donc :

    $ y_{A_0}=0{,}9u_0+2 $

    Or, d'après la définition de la suite $ (u_n) $ : $ u_1=0{,}9u_0+2 $ ; par conséquent $ y_{A_0}=u_1 $.

    L'ordonnée de $ A_0 $ est donc $ u_1 $.

  3. La droite $ (A_0B_1) $ est parallèle à l'axe des abscisses donc l'ordonnée de $ B_1 $ est égale à l'ordonnée de $ A_0 $ c'est à dire $ u_1 $.

    Comme le point $ B_1 $ appartient à la droite $ \Delta $ d'équation $ y=x $ :

    $ y_{B_1}=x_{B_1}=u_1 $

    Les coordonnées du point $ B $ sont $ (u_1~;~u_1) $.

    On réitère la procédure de la manière suivante :

    • on trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point $ B_1 $ ; cette droite coupe $ D $ en un point $ A_1(u_1~;~u_2) $
    • on trace la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point $ A_1 $ ; cette droite coupe $ D $ en un point $ B_2(u_2~;~u_2) $

    et ainsi de suite...

    On obtient ainsi le graphique ci-après :

    Construction des termes d'une suite récurrente
    (Les ordonnées des points n'ont pas été indiquées pour ne pas surcharger la figure)

  4. On conjecture que lorsque $ n $ augmente, les points $ A_n $ et $ B_n $ se rapprochent du point $ M $ et donc que :

    $ \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n =20. $

Partie B

  1. Pour tout entier naturel $ n $ :

    $ v_{n+1}=u_{n+1} - 20 $

    $ \phantom{v_{n+1}}=0{,}9u_n+2 - 20 $

    $ \phantom{v_{n+1}}=0{,}9u_n - 18 $.

    Or $ v_n=u_n - 20 $ donc $ u_n=v_n+20 $ ; alors :

    $ v_{n+1}=0{,}9(v_n+20) - 18 $

    $ \phantom{v_{n+1}}=0{,}9v_n+18 - 18 $

    $ \phantom{v_{n+1}}=0{,}9v_n $.

    De plus $ {v_0=u_0 - 20=2 - 20= - 18} $ ; par conséquent, la suite $ (v_n) $ est une suite géométrique de premier terme $ {v_0= - 18} $ et de raison $ {q=0{,}9} $.

  2. On en déduit que :

    $ v_n=v_0q^n= - 18 \times 0{,}9^n $.

  3. En utilisant la question précédente et la relation $ u_n=v_n+20 $ on obtient, pour tout entier naturel $ n $ :

    $ u_n=v_n+20=20 - 18 \times 0{,}9^n $.

  4. $ {0 \leqslant 0{,}9 < 1}\ $ donc $ \ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty } 0{,}9^n = 0 $.

    Alors :

    $ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}18 \times 0{,}9^n = 0\ $ et $ \ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}20 - 18 \times 0{,}9^n = 20 $.

    La suite $ (u_n) $ converge vers 20.