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Fonctions : limites - continuité Exercices

Fonctions d’offre et de demande – TVI

Durée estimée
20 minutes
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Objectif travaillé

On rappelle que les fonctions d'offre et de demande indiquent respectivement la quantité d'un produit que les acteurs du marché sont prêts à vendre ou à acheter pour un prix donné.

Un disquaire vend sur internet des CD musicaux dont le prix unitaire varie entre $10$ et $30$ euros.

Une étude de marché a permis de modéliser les fonctions d'offre $f$ et de demande $g$ d'un de ces CD à l'aide des formules :

$f(x) = 22{,}32x + 268$ et $g(x) = -0{,}048x^3 + 4x^2 - 120x + 1760$

où $x$ désigne le prix d'un CD en euros.

  1. Donner le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[10;30]$. Quelle interprétation économique de ce résultat peut-on faire ?

  2. Indiquer pourquoi la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[10;30]$ et calculer sa dérivée.

    En déduire le sens de variation de $g$ sur cet intervalle. Interpréter économiquement ce résultat.

  3. On appelle « prix d'équilibre » le prix $x_0$ pour lequel l'offre et la demande sont égales.

    1. On pose $h(x) = f(x) - g(x)$. Montrer que le prix d'équilibre $x_0$ est solution de l'équation $h(x) = 0$ sur l'intervalle $[10;30]$.

    2. Étudier les variations de la fonction $h$.

      En déduire que, pour le problème posé, il existe un et un seul point d'équilibre.

    3. À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $x_0$.

      Quelles sont alors les valeurs de l'offre et de la demande ?

Corrigé

  1. La fonction $f$ est une fonction affine définie par $f(x) = 22{,}32x + 268$.

    Son coefficient directeur $a = 22{,}32$ est strictement positif.

    Par conséquent, la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[10;30]$.

    D'un point de vue économique, cela signifie que plus le prix de vente d'un CD est élevé, plus le disquaire est prêt à en offrir (vendre) sur le marché.

  2. La fonction $g$ est une fonction polynôme du troisième degré.

    En tant que telle, elle est dérivable sur tout intervalle réel, et donc sur $[10;30]$.

    Sa dérivée est donnée par :

    $g'(x) = -0{,}048 \times 3x^2 + 4 \times 2x - 120 = -0{,}144x^2 + 8x - 120$

    Étudions le signe de $g'(x)$ en calculant le discriminant du trinôme $-0{,}144x^2 + 8x - 120$ :
    $\Delta = 8^2 - 4 \times (-0{,}144) \times (-120) = 64 - 69{,}12 = -5{,}12$.

    Le discriminant est strictement négatif. Le trinôme ne possède donc pas de racine réelle et il est du signe de son coefficient dominant $a = -0{,}144$ pour tout $x$.

    Ainsi, $g'(x) < 0$ pour tout $x \in [10;30]$. On en déduit que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[10;30]$.

    Économiquement, ce résultat traduit le fait que plus le prix d'un CD augmente, plus la demande des consommateurs diminue.

    1. Le prix d'équilibre $x_0$ est le prix pour lequel l'offre est égale à la demande, c'est-à-dire $f(x_0) = g(x_0)$.

      Cette égalité est équivalente à $f(x_0) - g(x_0) = 0$.

      En posant $h(x) = f(x) - g(x)$, le prix d'équilibre $x_0$ est donc bien solution de l'équation $h(x) = 0$.

    2. La fonction $h$ est définie par :
      $h(x) = 22{,}32x + 268 - (-0{,}048x^3 + 4x^2 - 120x + 1760)$
      $h(x) = 0{,}048x^3 - 4x^2 + 142{,}32x - 1492$.

      Sa dérivée est $h'(x) = f'(x) - g'(x) = 22{,}32 - (-0{,}144x^2 + 8x - 120) = 0{,}144x^2 - 8x + 142{,}32$.

      Le discriminant de ce trinôme est :
      $\Delta_h = (-8)^2 - 4 \times 0{,}144 \times 142{,}32 = 64 - 81{,}97632 = -17{,}97632$.

      Puisque $\Delta_h < 0$, $h'(x)$ est toujours du signe de $a = 0{,}144$, donc $h'(x) > 0$.

      La fonction $h$ est donc strictement croissante sur $[10;30]$.

      De plus :

      • $h(10) = 0{,}048 \times 10^3 - 4 \times 10^2 + 142{,}32 \times 10 - 1492 = 48 - 400 + 1423{,}2 - 1492 = -420{,}8$
      • $h(30) = 0{,}048 \times 30^3 - 4 \times 30^2 + 142{,}32 \times 30 - 1492 = 1296 - 3600 + 4269{,}6 - 1492 = 473{,}6$

      La fonction $h$ est continue et strictement croissante sur $[10;30]$, et elle change de signe sur cet intervalle (car $h(10) < 0$ et $h(30) > 0$).

      D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $x_0$ dans l'intervalle $[10;30]$.

      Il existe donc un et un seul prix d'équilibre pour ce marché.

    3. Par balayage à la calculatrice, on trouve $h(16{,}84) \approx -0{,}45$ et $h(16{,}85) \approx 0{,}04$.

      Le prix d'équilibre, arrondi au centime d'euro, est donc $x_0 \approx 16{,}85$ euros.

      Les valeurs de l'offre et de la demande sont alors :
      $f(16{,}85) = 22{,}32 \times 16{,}85 + 268 \approx 644{,}09$.

      L'offre et la demande sont d'environ $644$ unités.