Suites arithmético-géométrique – Bac ES/L Liban 2013
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Partie A
On considère la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par $ u_{0}=10 $ et pour tout entier naturel $ n, $
On considère la suite $ \left(v_{n}\right) $ définie pour tout entier naturel $ n $ par $ v_{n}=u_{n} - 12 $.
- Démontrer que la suite $ \left(v_{n}\right) $ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
- Exprimer $ v_{n} $ en fonction de $ n $.
- En déduire que pour tout entier naturel $ n : u_{n}=12 - 2\times 0{,}9^{n} $.
- Déterminer la limite de la suite $ \left(v_{n}\right) $ et en déduire celle de la suite $ \left(u_{n}\right) $.
Partie B
En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d'habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :
- 10% des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ;
- 1 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.
- Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite $ \left(u_{n}\right) $ où $ u_{n} $ désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année $ 2012+n $.
Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il calcule la population de la ville de Bellecité l'année $ 2012+n $.
VARIABLES : $ a, i, n $ INITIALISATION : Choisir $ n $ $ a $ prend la valeur .... TRAITEMENT : Pour $ i $ allant de $ 1 $ à $ n $ $ \quad a $ prend la valeur .... Fin Pour SORTIE : Afficher $ a $ - Résoudre l'inéquation $ 12 - 2\times 0{,}9^{n} > 11{,}5 $.
- En donner une interprétation.
Corrigé
Partie A
Pour tout entier naturel $ n $, on a $ v_{n}=u_{n}-12 $, donc $ u_{n}=v_{n}+12 $.
De plus, $ u_{n+1}=0{,}9u_{n}+1{,}2 $.
Exprimons $ v_{n+1} $ en fonction de $ v_n $ :$ v_{n+1}=u_{n+1}-12 $$ v_{n+1}=0{,}9u_{n}+1{,}2-12 = 0{,}9u_{n}-10{,}8 $En remplaçant $ u_{n} $ par $ v_{n}+12 $ :
$ v_{n+1}=0{,}9(v_{n}+12)-10{,}8 $$ v_{n+1}=0{,}9v_{n}+10{,}8-10{,}8 $$ v_{n+1}=0{,}9v_{n} $La suite $ (v_n) $ est donc une suite géométrique de raison $ q=0{,}9 $.
Son premier terme est $ v_{0}=u_{0}-12=10-12=-2 $.Puisque $ (v_n) $ est une suite géométrique, pour tout entier naturel $ n $ :
$ v_{n}=v_{0}\times q^{n} = -2\times 0{,}9^{n} $On en déduit :
$ u_{n}=v_{n}+12 = 12-2\times 0{,}9^{n} $
Puisque $ -1 < 0{,}9 < 1 $, on a :
$ \lim\limits_{n\to+\infty} 0{,}9^{n}=0 $On en déduit par produit et somme :
$ \lim\limits_{n\to+\infty} v_{n} = -2 \times 0 = 0 $Et pour la suite $ (u_n) $ :
$ \lim\limits_{n\to+\infty} u_{n} = 12 - 0 = 12 $
Partie B
Notons $ u_n $ la population en milliers d'habitants l'année $ 2012+n $.
En 2012 ($ n=0 $), la ville compte 10 milliers d'habitants, donc $ u_0=10 $.
Chaque année, 10 % des habitants meurent ou déménagent, il en reste donc $ 90 \% $ (coefficient multiplicateur de $ 0{,}9 $), et 1 200 personnes ($ 1{,}2 $ milliers) emménagent.
On a donc bien pour tout entier naturel $ n $ :$ u_{n+1}=0{,}9u_{n}+1{,}2 $L'algorithme complété est le suivant :
VARIABLES : $ a, i, n $ INITIALISATION : Choisir $ n $ $ a $ prend la valeur $ 10 $ TRAITEMENT : Pour $ i $ allant de $ 1 $ à $ n $ $ \quad a $ prend la valeur $ 0{,}9a+1{,}2 $ Fin Pour SORTIE : Afficher $ a $ Résolvons l'inéquation :
$ 12-2\times 0{,}9^{n} > 11{,}5 $$ 0{,}5 > 2\times 0{,}9^{n} $$ 0{,}25 > 0{,}9^{n} $En appliquant la fonction $ \ln $ (strictement croissante sur $ ]0 ; +\infty[ $) :
$ \ln(0{,}25) > n\ln(0{,}9) $Comme $ \ln(0{,}9) < 0 $, on change le sens de l'inégalité :
$ n > \dfrac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}9)} $À la calculatrice, $ \dfrac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}9)} \approx 13{,}16 $.
Comme $ n $ est un entier naturel, on doit avoir $ n \ge 14 $.- Cela signifie qu'à partir de l'année $ 2012+14 = 2026 $, la population de la ville de Bellecité dépassera les 11 500 habitants.