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Primitives et intégrales Exercices

[Bac] Lecture graphique – Intégrale

Durée estimée
25 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

D'après Bac ES Liban 2008

Soit $ f $ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $ \left[ - 4 ; 6\right] $.

On note $ f^{\prime} $ sa fonction dérivée. La courbe $ \Gamma $ représentative de la fonction $ f $ dans un repère orthonormal est tracée ci-dessous ainsi que la droite $ \Delta $ d'équation $ y=x $.

La courbe $ \Gamma $ et la droite $ \Delta $ se coupent au point $ E $ d'abscisse $ 2 $.

On sait par ailleurs que :

  • la courbe $ \Gamma $ admet des tangentes parallèles à l'axe des abscisses aux points $ B \left( - 2 ; 6{,}5\right) $ et $ C\left(1 ; 1{,}75\right) $,
  • la droite $ \left(EF\right) $ est la tangente à la courbe $ \Gamma $ au point $ E $ ; $ F $ est le point de coordonnées $ \left(4 ; 3\right) $
Lecture graphique

  1. Dans cette question, déterminer par lecture graphique et sans justification :

    1. les valeurs de $ f^{\prime}\left( - 2\right) $ et $ f^{\prime}\left(2\right) $ ;
    2. les valeurs de $ x $ dans l'intervalle $ \left[ - 4 ; 6\right] $ vérifiant $ f^{\prime}\left(x\right)\geqslant 0 $ ;
    3. les valeurs de $ x $ dans l'intervalle $ \left[ - 4 ; 6\right] $ vérifiant $ f\left(x\right) \leqslant x $.
  2. Soit $ g $ la fonction définie sur ]-4 ; 6] par $ g\left(x\right)=\ln\left[f\left(x\right)\right] $. Déterminer par lecture graphique et avec justification les variations de $ g $

  3. Encadrement d'une intégrale
    Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

    1. Soit l'intégrale $ I=\int_{ 2}^{ 4} f\left(x\right) dx $. Interpréter graphiquement $ I $.
    2. Proposer un encadrement de l'intégrale $ I $ par deux nombres entiers consécutifs. Justifier.

Corrigé

  1. D'après la lecture graphique :

    1. La courbe $ \Gamma $ admet une tangente horizontale au point $ B(-2 ; 6{,}5) $, donc $\mathbf{f'(-2) = 0}$.
      La droite $ (EF) $ est la tangente au point $ E(2 ; 2) $. Son coefficient directeur est donné par :

      $ f'(2) = \dfrac{y_F - y_E}{x_F - x_E} = \dfrac{3 - 2}{4 - 2} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 $
    2. $ f'(x) \geqslant 0 $ sur les intervalles où la fonction $ f $ est croissante. Graphiquement, cela correspond aux intervalles $\mathbf{[-4 ; -2]}$ et $\mathbf{[1 ; 6]}$.
    3. $ f(x) \leqslant x $ correspond aux abscisses des points de la courbe situés en dessous ou sur la droite $ \Delta $. On lit l'intervalle $\mathbf{[2 ; 6]}$.

  2. La fonction $ g $ est définie par $ g(x) = \ln[f(x)] $. Puisque la fonction $ \ln $ est strictement croissante sur $ ]0 ; +\infty[ $, la fonction $ g $ a les mêmes variations que la fonction $ f $ sur tout intervalle où $ f(x) > 0 $.
    Sur l'intervalle $ ]-4 ; 6] $, nous avons vu que :

    • $ f $ est croissante sur $ ]-4 ; -2] $, donc $ g $ est croissante sur $ ]-4 ; -2] $.
    • $ f $ est décroissante sur $ [-2 ; 1] $, donc $ g $ est décroissante sur $ [-2 ; 1] $.
    • $ f $ est croissante sur $ [1 ; 6] $, donc $ g $ est croissante sur $ [1 ; 6] $.

  3. Encadrement d'une intégrale

    1. L'intégrale $ I = \int_{2}^{4} f(x) dx $ représente l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe $ \Gamma $, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations $ x = 2 $ et $ x = 4 $.
    2. Sur l'intervalle $ [2 ; 4] $, la courbe $ \Gamma $ est située au-dessus de sa tangente $ (EF) $ et en dessous de la droite $ \Delta $.

    3. L'aire du trapèze délimité par l'axe des abscisses, les droites $ x=2 $, $ x=4 $ et la tangente $ (EF) $ est :

      $ \mathcal{A}_1 = \dfrac{y_E + y_F}{2} \times (4 - 2) = \dfrac{2 + 3}{2} \times 2 = 5 $

    4. L'aire du trapèze délimité par l'axe des abscisses, les droites $ x=2 $, $ x=4 $ et la droite $ \Delta $ (d'équation $ y=x $) est :

      $ \mathcal{A}_2 = \dfrac{2 + 4}{2} \times (4 - 2) = \dfrac{6}{2} \times 2 = 6 $

      On en déduit l'encadrement par deux entiers consécutifs : $\mathbf{5 < I < 6}$.