Utiliser la linéarité de la moyenne
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Linéarité de la moyenne
Si une série statistique $(x_i)$ a pour moyenne $\bar{x}$, alors la série $(a x_i + b)$ (où $a$ et $b$ sont deux nombres réels) a pour moyenne $a \bar{x} + b$.
En particulier :
- si on ajoute $b$ à chaque valeur, la moyenne augmente de $b$ ;
- si on multiplie chaque valeur par $a$, la moyenne est multipliée par $a$.
Méthode
Pour trouver la nouvelle moyenne après une transformation de la forme $x \mapsto a x + b$ :
- Étape 1 : identifier les coefficients $a$ et $b$ à partir de l'énoncé.
- Étape 2 : connaître l'ancienne moyenne $\bar{x}$.
- Étape 3 : calculer la nouvelle moyenne avec $\bar{x}' = a \bar{x} + b$.
Il est inutile de recalculer la moyenne valeur par valeur.
Ajout constant à toutes les notes
Les notes d'un contrôle ont pour moyenne $\bar{x} = 9{,}5$. Le professeur décide d'ajouter $2$ points à chaque copie. Quelle est la nouvelle moyenne ?
Étape 1 : la transformation est $x \mapsto x + 2$, donc $a = 1$ et $b = 2$.
Étape 2 : ancienne moyenne : $\bar{x} = 9{,}5$.
Étape 3 : nouvelle moyenne :
La nouvelle moyenne est $\mathbf{11{,}5}$.
Changement d'unité (°C vers °F)
Sur une semaine, la température moyenne relevée à Paris est $\bar{x} = 15$ °C. On souhaite la convertir en degrés Fahrenheit avec la formule $F = 1{,}8 \times C + 32$.
Étape 1 : transformation affine avec $a = 1{,}8$ et $b = 32$.
Étape 2 : ancienne moyenne : $\bar{x} = 15$.
Étape 3 : nouvelle moyenne :
$\bar{x}' = 1{,}8 \times 15 + 32 = 27 + 32$
La température moyenne sur la semaine est de $59$ °F.
Augmentation en pourcentage
Le salaire moyen mensuel dans une entreprise est $\bar{x} = 2\,400$ €. Tous les salariés reçoivent une augmentation de $3\,\%$. Quel est le nouveau salaire moyen ?
Étape 1 : multiplier par $1{,}03$ revient à appliquer $x \mapsto 1{,}03 \, x$, donc $a = 1{,}03$ et $b = 0$.
Étape 2 : ancienne moyenne : $\bar{x} = 2\,400$.
Étape 3 : nouvelle moyenne :
Le nouveau salaire moyen est $2\,472$ €.
Remarque
Cette propriété est très utile lorsqu'on change d'unité (euros/dollars, °C/°F, cm/m) ou lorsqu'on ajuste une série (bonus, malus, prime) : on évite de refaire le calcul sur chaque valeur.
Attention
La linéarité s'applique à une transformation affine $x \mapsto a x + b$, donc à un ajout, un multiple ou une combinaison des deux. Elle ne s'applique pas à des transformations non affines (par exemple $x \mapsto x^2$ ou $x \mapsto \sqrt{x}$) : dans ce cas, il faut recalculer la moyenne sur la nouvelle série.